متعددات حدود بوبكر

تمثّل متعددات حدود بوبكر إحداثا رياضيّا ضمن عائلات متعددات الحدود التي بدأت مع إحداثات الخوارزمي والخيّام في بداية القرن التاسع لتتواصل بدون انقطاع مع إحداثات ونيوتن وغاردانو وفراراي و أولر و لوجندر و لوقا و جاكوبي لاقير وبرنشتاين و هرميت و شارلير وشيبيشاف وماك نمارا وغيرهم. وقع تسجيل متعددات حدود ' بوبكر' كمجموعة متعدداتيّة تأتّت من حتّ مُقترح لمعادلة السريان الحراري ضمن دراسة فيزيائيّة لمثال بخّاخ بيروليتيكي لصنع الرقائق. لــمتعددات حدود ' بوبكر' معادلة أُحادية الحدود ذات برهان مسجّل :

<>:$B_{n}(x)=x^{n}-(n-4)x^{n-2}+\sum _{p=2}^{s(n)}{(n-4p) \over p!}\prod _{j=p+1}^{2p-1}(n-j)(-1)^{p}x^{n-2p}$

حيث

$s(n)={2n+(-1)^{n}-1 \over 4}\,$

n > 3

أصاغر متعددات حدود ' بوبكر' هي:

${\begin{aligned}B_{0}(x)&{}=1\\B_{1}(x)&{}=x\\B_{2}(x)&{}=x^{2}+2\\B_{3}(x)&{}=x^{3}+x\\B_{4}(x)&{}=x^{4}-2\\B_{5}(x)&{}=x^{5}-x^{3}-3x\\B_{6}(x)&{}=x^{6}-2x^{4}-3x^{2}+2\\B_{7}(x)&{}=x^{7}-3x^{5}-2x^{3}+5x\\B_{8}(x)&{}=x^{8}-4x^{6}+8x^{2}-2\\B_{9}(x)&{}=x^{9}-5x^{7}+3x^{5}+10x^{3}-7x\\&{}\,\,\,\vdots \end{aligned}}$

تعهّد الباحثون الهادي الأبيض و جمال الغنّوشي (تونس) و أموتايو بميدل أووجويوكبي(نيجيريا) وعديد من المختصّين العالميين بالبحث في خصوصيّات متعددات حدود ' بوبكر' . وقد أفضت دراساتهم إلى إيجاد معادلة اشتقاقيّة من الدرجة الثانية من نوع 'ستورم – ليوفيل' لهذه المتعددات. أمكن لهم أيضا اقتراح صيغة تسلسليّة شبه متعدديّة :

${\begin{cases}B_{n}(x)=\sum _{j=0}^{s(n)}b_{n,j}X^{n-2j}{\text{ where }}s(n)={\dfrac {2n+(-1)^{n}-1}{4}}\\\\B_{n,0}=1;\ B_{n,1}=-(n-4)\\\\B_{n,j+1}={\dfrac {(n-2j)(n-2j-1)(n-4j-4)}{(j+1)(n-j-1)(n-4j)}}{B_{n,j}}\\\\B_{n,s(n)}={\begin{cases}2(-1)^{n/2}\\\\(n-2)(-1)^{(n+1)/2}\end{cases}}\end{cases}}$

موقع نشر دراسة علميّة تقترح متعددات حدود ' بوبكر' المنقّحة أو متعددات حدود 'م- بوبكر' التي أمكن أن يُسند لها معادلة اشتقاقيّة خصوصيّة من الدرجة الثانية:

${\begin{aligned}m-B_{0}(x)&{}=1\\m-B_{1}(x)&{}=2x\\m-B_{2}(x)&{}=4x^{2}+2\\m-B_{3}(x)&{}=8x^{3}+2x\\m-B_{4}(x)&{}=16x^{4}-2\\m-B_{5}(x)&{}=32x^{5}-8x^{3}-6x\\m-B_{6}(x)&{}=64x^{6}-32x^{4}-12x^{2}+2\\m-B_{7}(x)&{}=128x^{7}-96x^{5}-16x^{3}+10x\\m-B_{8}(x)&{}=256x^{8}-256x^{6}+32x^{2}-2\\m-B_{9}(x)&{}=512x^{9}-640x^{7}+96x^{5}+80x^{3}-14x\\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}$