قيمة ذاتية

في الرياضيات تعتبر القيمة الذاتية، القيمة الممتلكة، أو القيمة الفطرية

1. تحويل قالب:إنكليزية، المتجه الذاتي
2. تحويل قالب:إنكليزية والفضاء الذاتي
3. تحويل قالب:إنكليزية اصطلاحات متعلقة بالجبر الخطي. البادئة eigen مشتقة من الألمانية (تلفظ ahy-guhn أي آيغن بالجيم المصرية) وتعني متأصل، فطري، أو خاص.

يهتم الجبر الخطي بدراسة التحولات الخطية، والتي تمثلها مصفوفات مؤثرة على متجهات. تعد القيم الذاتية، المتجهات الذاتية والفراغات الذاتية خواص المصفوفة. يتم حسابها بواسطة طريقة (كما سيتم شرحها لاحقاً) تعطي معلومات عن المصفوفة ويمكن استعمالها في تفكيك المصفوفة. لهذا النوع تطبيقاته الخاصة في مجالات الرياضيات التطبيقية وبشكل أوسع في التمويل وميكانيكا الكم.

عموماً، تؤثر مصفوفة على متجه بتغيير كلاً من قيمته واتجاهه. لكن يمكن أن تؤثر المصفوفة على بعض المتجهات بتغيير قيمها مع الإبقاء على اتجاهاتها دون تغيير (أو ربما عكسها). تمثل هذه المتجهات متجهات ذاتية للمصفوفة. تؤثر مصفوفة على متجه ذاتي بضرب قيمته بعامل معين، والذي يكون موجباً عندما لايتغير اتجاهه وسالباً إن انعكس الاتجاه. يمثل هذا العامل القيمة الذاتية المصاحبة لذلك المتجه الذاتي. يكون الفضاء الذاتي مجموعة كل المتجهات الذاتية التي لها نفس القيمة الذاتية، معاً ومع المتجه الصفري. لا يمكن تعريف المفهوم بشكل رسمي بدون متطلبات أساسية، بما فيها فهم المصفوفات، المتجهات، و التحويلات الخطية. التفاصيل الفنية معطاة بالأسفل.

بتعبير رسمي، إذا كان A يمثل تحويلاً خطياً، فإن, متجها لا صفريا x يكون متجها ذاتيا لـA إذا وجد جداء λ بحيث أن

$A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} \,.$

الجداء λ يقال بأنه قيمة ذاتية لـA تقابل المتجه الذاتيx.

مقاربة الرياضيات التفاضلية للقيمة الممتلكة

حساب حل معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى:

فلنعتبر مثلا المعادلة التفاضلية البسيطة التالية(مع غض الطرف مبدئيا عن وجوب اعتبار الشروط الأولى أي initial conditions عند حساب الحل):

${\mathcal {}}Ax=\lambda x$

${\dot {x}}+10x=0$

و لنحاول البحث عن حل هذه المعادلة. المعروف هو أنه يمكن أن نقول أن حل هذالمعادلة هو:

${\mathcal {}}e^{ct}$

أي أن ${\mathcal {}}x=e^{ct}$ وإذا عوضت ${\mathcal {}}x$ ب ${\mathcal {}}e^{ct}$ فإنك تتحصل على المعادلة التالية:

${\frac {d}{dt}}(e^{ct})+10e^{ct}=0$

أي ${\mathcal {}}ce^{ct}+10e^{ct}=0$

أي بعد أن نشطب ${\mathcal {}}e^{ct}$ من المعادلة فإنك تتحصل على المعادلة ${\mathcal {}}c+10=0$ وهذا بدوره يعني أن${\mathcal {}}c=-10$ .

القيمة الممتلكة

في عملية الحساب أعلاه وصلنا من معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى إلى معادلة بسيطة لحساب القيمة الممتلكة c ألا وهي المعادلة $-c+10=0$ ويمكن تعميم هذه الطريقة أي كيفية الوصول من معادلة تفاضلية ذات درجة 2 أو 3 إلخ...إلى المعادلة لحساب القيمة الممتلكة أو في هذه الحالة القيم الممتلكة (لأن درجة العلاقة التفاضلية تتطابق دائما مع عدد القيم الخاصة التي تحسبها حيث يكون عليك في هذه الحالة حل (كثيرات حدود) بولينومات polynoms وأن تراعي طبعا أن بعض الحلول قد تكون مكررة أي أنه يجب أن تعدها عدة مرات حتى تكون ملاحظتي هذه صحيحة).
كما يجدر الإشارة إلى أن هذه الطريقة أو المعالجة حيث فقط للنظم أو المعادلات التفاضلية الخطية أي أنه في صورة انعدام الخطية لا يمكن الحديث عن قيمة ممتلكة.
كما أن القيمة الممتلكة تعلمنا إذا كان نظام ما مستقرا (إذا كانت القيمة الممتلكة سالبة) أو غير مستقر (إذا كانت القيمة موجبة). وهي كذلك دليل على سرعة النظام أو سرعة رده (إذا كانت القيمة المطلقة للقيمة الممتلكة كبيرة فإن النظام سريع أي سرعة ردة فعله سريعة).

انظر أيضا

• خوارزمية قيمة ممتلكة
• كثيرة حدود مميزة