أثر (جبر خطي)

في الجبر الخطي، أثر مصفوفة مربعة A يعرف بأنه مجموع الحدود على القطر الرئيسي.

$\mathrm {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,$

حيث a_ii تمثل المدخل على الصف i والعمود i للمصفوفة A. بالمثل فإن أثر المصفوفة هو مجموع قيمها الذاتية، صانعاً منها لامتباينا بالنسبة لتغير الأساسات.

أمثلة

ليكن Tعامل خطي ممثل بالمصفوفة

${\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}.$

فإن tr(T) = −2 + 1 − 1 = −2.

يكون أثر مصفوفة الوحدة هو بعد الفضاء; وهذا يقود إلى تعميم البعد باستعمال الأثر. يكون أثر المسار (أي P² = P) هو ترتيب المسار. يكون أثر مصفوفة نيلبوتنت صفرا.

بشكل عام، إذا كانت f(x) = (x − λ₁)^d₁···(x − λ_k)^d_kهي مميز كثيرة الحدود للمصفوفة A, فإن

$\mathrm {tr} (A)=d_{1}\lambda _{1}+\cdots +d_{k}\lambda _{k}.\!$