نظرية المجموعات
نظرية الفئات أو نظرية المجموعات Set theory طريقة لحل مسائل الرياضيات والمنطق (أو الاستنباط). ودراستنا لنظرية المجموعات تزيد فهمنا لعلم الحساب وللرياضيات ككل.
ويعتقد كثير من العلماء أنه في الإمكان استخلاص كل القواعد الرياضية، بما في ذلك نظرية الدوال على سبيل المثال، من نظرية المجموعات، ولذا فإن نظرية المجموعات تعد من الفروع الأساسية لعلم الرياضيات.
والمجموعة تجمُّع من الأشياء المحسوسة أو الأفكار. فمثلاً كل أسرة ما، أو حتى علبة أقلام شمعية، أو قطيع أغنام هي مجموعة من الأشياء المحسوسة، بينما كل من قوانين لعبة ما، أو حتى الأعداد الزوجية من 10 إلى 20 مجموعة من الأفكار. وتسمى الأشياء التي تشكل المجموعة عناصر أو أعضاء المجموعة. فأي قلم شمعي هو عنصر من مجموعة الأقلام الشمعية، والرقم 16 عنصر من مجموعة الأعداد الزوجية من 10 إلى 20.
يستخدم علماء الرياضيات الحروف لتمييز المجموعات وعناصرها. فقد تستعمل حروف لتسمية المجموعات، بينما تستخدم حروف أخرى لتسمية عناصر المجموعات. فالحرف ح مثلا، يمكن أن يرمز إلى ¸مجموعة طلاب الصف الخامس ذوي الشعور المجعَّدة·، بينما ترمز الحروف ك، م، ن لعناصر هذه المجموعة ـ كريم، محمود، نزار. ولذلك نقول إن المجموعة ح تتألف من العناصر كريم، محمود، نزار، ونكتب: ح = { ك، م، ن }. أي أن المجموعة تحدَّد عن طريق حصر عناصرها بين القوسين { }.
وإذا أردنا أنْ نبيَّن أنَّ عنصراً ما موجود في مجموعة معينة، (مثلاً نريد توضيح أن محمودًا عنصر من ح)، فإننا نكتب م ينتمي إلى ح، ويقرأ: “م عنصر من المجموعة ح”. أما إذا رغبنا في توضيح أن طارقًا ليس عنصرًا من المجموعة ح فإننا نكتب ط لا تنتمي إلى ح، ويُقرأ: “ط ليس موجوداً في ح”. ويمكن أيضاً تحديد مجموعة ما بدلالة خواصها. والخاصية مفهوم يربط عناصر المجموعة بعضها ببعض. ففي المثال أعلاه، للمجموعة ح ثلاث خواص: 1- عناصرها مـن الطــلاب 2-عناصـرها في الصــف الخامــــس 3- عناصرها من ذوي الشعور المجعَّدة. ولتوضيح هذه الخصائص نكتب: ح ={س: س طالب في الصف الخامس وشعره مجعد}، وتقرأ هذه العبارة: ح هو مجموعة الأفراد س حيث س طالب في الصف الخامس. وتمثل النقطتان بين الرمزين س كلمة (حيث).
أنواع المجموعات
من المهم عند التعامل مع المجموعات أن نقارن مجموعة بمجموعة أخرى. وقد أطلق الرياضيون تسميات لأنواع عدة من المجموعات، وذلك بغرض تصنيفها. وهذه التسميات تتعلق بعدد عناصر المجموعة وبطبيعة علاقة المجموعات فيما بينها.
وهناك عشرة أنواع رئيسية من المجموعات هي:
1- المجموعات المنتهية
2- المجموعات غير المنتهية
3- المجموعات الخالية
4- المجموعات وحيدة العنصر
5- المجموعات المتكافئة
6- المجموعات المتساوية
7- المجموعات المتداخلة
8- المجموعات المنفصلة
9- المجموعات الشاملة
10- المجموعات الجزئية.
وكل مجموعة يمكن أن تكون ضمن واحدة أو أكثر من هذه التسميات. فالمجموعات المتكافئة مثلاً يمكن أن تكون منتهية وتكون أيضاً منفصلة.
المجموعات المنتهية
هي التي لها عدد محدود من العناصر، فمثلاً “ثلاث قطط” و”ثلاثة آلاف رأس من الماشية” مجموعات منتهية. ولوصف المجموعة المنتهية قليلة العناصر، فإننا نكتب عناصر المجموعة كلها. فمثلاً، إذا كانت ص هي مجموعة الأعداد الطبيعية التي تزيد عن 4 وتقل عن 10، نكتب: ص = { 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9}.
المجموعات غير المنتهية
هي التي يكون عدد عناصرها غير محدود. فمجموعة الأعداد التي تستخدمها في العد مثلا تشكِّل مجموعة غير منتهية: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 وهكذا بدون توقف. ومن المستحيل كتابة عناصر المجموعة غير المنتهية كلها، ولوصف عناصر مجموعة كهذه نكتب العناصر القليلة الأولى، ثم نضع ثلاث نقاط لتوضيح أن عدد العناصر غير محدود: {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، …}
المجموعات الخالية
هي التي لاتحتوي على أي عناصر. فمثلاً إذا كانت المجموعات التالية تمثِّل قائمة التلاميذ الغائبين في مدرسة معينة خلال ثلاثة أيام، حيث تغيَّب يوم الإثنين صالح وأحمد، وفي يوم الثلاثاء خالد، وفي يوم الأربعاء لم يتغيب أحد. نلاحظ أن مجموعة الإثنين تحتوي على عنصرين، ومجموعة الثلاثاء تحتوي على عنصر واحد فقط، بينما لاتحتوي مجموعة الأربعاء على أي عنصر. ولذلك فإن مجموعة الأربعاء مجموعة خالية. ولكي نوضِّح أن مجموعة ما خالية، فإننا نترك فراغاً بين قوسيها.
مجموعة الأربعاء = { }
المجموعات وحيدة العنصر
هي التي تحوي عنصرًا واحداً فقط. فمجموعة الثلاثاء في المثال المتقدم مجموعة وحيدة العنصر؛ مجموعة الثلاثاء = {خالد}.
المجموعات المتكافئة
هي المجموعات التي لها نفس العدد من العناصر، بمعنى أن كل مجموعتين تكونان متكافئتين إذا أمكن مقابلة عناصرهما عنصراً لعنصر. فمثلاً إذا كان عدد الأدراج في أحد الفصول مساوياً لعدد الطلاب، فإن مجموعة الأدراج مكافئة لمجموعة الطلاب. وفي الشكل التوضيحي أدناه تكون مجموعة الكلاب مكافئة لمجموعة أوجار الكلاب.
ولكي تبين أن أ و ب متكافئتان فإنك تكتب: أ ¶ ب، حيث يعني الرمز ¶ أن هذا مكافئ لذلك. وهذا يشير إلى أن أفراد مجموعة ما يمكن تبادلها مع أفراد المجموعة الأخرى حسب الشكل. ولو كانت لديك خمسة كلاب وأربعة أوجار فإن المجموعتين غير متكافئتين، وعليك أن تكتب الرمز هكذا: أ ¶ ب التي تعني أن أ غير مكافئ لـ ب.
المجموعات المتساوية
هي التي لها نفس العناصر. فإذا فرضنا أن ح هي مجموعة الطلاب الذين حصلوا على العلامة الكاملة في اختبار الإملاء في مدرسة معينة وكانت:
ح = {رائد، ياسر، محمد، عمر}.
وإذا فرضنا أن ع هي مجموعة الطلاب الذين حصلوا على العلامة الكاملة في اختبار الحساب وكانت:
ع = {عمر، محمد، ياسر، رائد}. عندئذ ح تساوي ع لأن لكل منهما نفس العناصر التي للأخرى. ولتوضيح أنهما متساويتان، نكتب: ح= ع.
المجموعات المتداخلة
هي التي لها عناصر مشتركة فيما بينها. فبفرض أن الطلبة المثاليين في إحدى المدارس للعام الماضي، هم جمال، وقاسم، وإبراهيم وأن الطلبة المثاليين لهذا العام هم رائد وقاسم وعمر، فإننا نلاحظ أن قاسم ينتمي لمجموعة الطلبة المثاليين في العام الماضي، وكذلك لمجموعة الطلبة المثاليين في هذا العام، أي أن المجموعتين متداخلتان، ويمكن إيضاح ذلك على النحو التالي.
المجموعات المنفصلة
هي التي لاتحتوي على أي عناصر مشتركة فيما بينها والجدول أدناه يبين زوجاً من المجموعات المنفصلة.
المجموعات الشاملة
هي المجموعات التي تحتوي على جميع العناصر تحت الاختبار في وقت ومسألة معينين، وعادة ما يرمز إليها بالرمز س. فإذا فرضنا في مسألة ما أننا نتعامل فقط مع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 10 ، تكون المجموعة الشاملة هي: س = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10}.
وقد تكون المجموعة الشاملة في مسألة أخرى هي جميع الأعداد الزوجية، وفي حالة ثالثة جميع الطلاب الذين يدرسون العلوم الطبيعية.
المجموعات الجزئية
هي المتضمَّنَة في مجموعات أخرى. فمجموعة أفراد الشرطة الذين يعملون ليلا، على سبيل المثال، مجموعة جزئية من مجموعة جميع أفراد الشرطة. وفي الشكل أدناه تظهر مجموعتان جزئيتان من مجموعة الأعداد من 1 إلى 10
ولتوضيح أن كلاً من المجموعتين ص، ع مجموعة جزئية من س نكتب:ص C س ، ع C س حيث يعني الرمز C “متضمَّن في”. لاحظ أن تحت المجموعتين ص و ع مجموعتين منتهيتين. وهما متكافئتان لأنه يمكن مقابلة عناصرهما عنصراً بعنصر. كما أنهما أيضاً مجموعتان منفصلتان لأنه لايوجد أي عناصر مشتركة تنتمي لكلتا المجموعتين في آن واحد.
أشكال تمثيل المجموعات
يستخدم علماء الرياضيات أحياناً الأشكال لتوضيح العلاقات ولحل المسائل. ففي القرن الثامن عشر على سبيل المثال، استخدم عالم الرياضيات السويسري ليونهارد أولير الدوائر لأول مرة لتمثيل المجموعات والعلاقات فيما بينها. ثم في العام 1894م تلاه العالم الإنجليزي جون فن الذي أضاف المستطيلات إلى تلك الأشكال. وتُستخدم هذه الأشكال. التي تُسمَّى أشكال فن أو دوائر أولير، في تمثيل المجموعات. ولكن حجم الشكل لايعطي أي دلالة معينة على المجموعة التي يمثلها، إذ قد تمثِّل دائرة معينة مجموعة منتهية أو مجموعة غير منتهية أو حتى مجموعة خالية. كما أن دائرتين بنفس الحجم قد تمثلان مجموعتين مكافئتين أو مجموعتين تختلفان في عدد العناصر. ومن هنا فلا توجد أشكال خاصة بعينها لتمثيل المجموعات المنتهية، أو المجموعات غير المنتهية، أو المجموعات الخالية، أو المجموعات وحيدة العنصر، أو المجموعات المتكافئة.
شكل تمثيل المجموعات الشاملة
هو مستطيل مميز بالحرف س ويمثل مجموعة جميع العناصر تحت الاعتبار في مسألة معينة. فقد يدل هذا الشكل مثلاً على جميع الأعداد الطبيعية أو جميع شهور السنة أو أية مجموعة شاملة أخرى.
شكل تمثيل المجموعات الجزئية
هو دائرة مميزة بالحرف الذي يرمز إلى هذه المجموعة الجزئية. فإذا فرضنا أن س هي مجموعة جميع الطلاب في فلسطين مثلاً، وأن المجموعة الجزئية ح هي مجموعة الطلاب في القدس، فإننا نرسم دائرة تمثل المجموعة ح، بحيث تكون هذه الدائرة واقعة كلياً داخل مستطيل المجموعة الشاملة س لأن كل عنصر في ح هو أيضًا عنصر في س
وإذا أردنا أن نبين مجموعة جزئية من ح، فإننا نرسم دائرة أخرى داخل دائرة ح. فإذا كانت ح هي مجموعة طلاب في مدينة القدس، فيكون تمثيل ع في شكل فن السابق هو:
شكل تمثيل المجموعات المتساوية
هو دائرة واحدة مميزة بحرفين أو أكثر، حيث يرمز كل حرف لإحدى المجموعات المتساوية. وتكون الدائرة واحدة فقط، لتبين أن كل مجموعة من هذه المجموعات لها بالضبط نفس العناصر. ويمكننا تخيل الدائرة كدائرتين أو أكثر متطابقة بعضها مع بعض. فمثلاً، لنفرض س هي مجموعة الأعداد من 1 إلى 10، ولتكن ق هي مضاعفات العدد 2 في س، هـ هي الأعداد في س التي تقبل القسمة على 2. إن عناصر هذه المجموعات هي
س = {1، 2، 3 ، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10}
ق = { 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10}
هـ = { 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10}
المجموعتان ق، هـ لهما نفس العناصر، لذلك تُمثَّل كلتاهما بدائرة واحدة كما في الشكل.
شكل تمثيل المجموعات المتداخلة
يتكون من دوائر متداخلة. والشكل التالي يبين أن بعض عناصر ص هي أيضًا
عناصر في ع. فإذا كانت س هي مجموعة الطلاب والطالبات في فلسطين وص هي مجموعة الطالبات فقط في فلسطين، بينما ع هي مجموعة طلبة وطالبات مدينة القدس، فإن الجزء المظلل في الشكل يمثل مجموعة الطالبات في مدينة القدس.
شكل تمثيل المجموعات المنفصلة
يتألف من اثنتين أو أكثر من الدوائر المنفصلة عن بعضها البعض.
فإذا فرضنا أن س هي المجموعة الشاملة كما سبق وكانت ح هي مجموعة الطلاب الذكور في القدس، ق هي مجموعة الطالبات في القدس، فإن كلاً من ح ، ق هي مجموعة جزئية من س. وهما مجموعتان منفصلتان لأنه لايوجد أي عنصر مشترك بينهما.
العمليات على المجموعات
هناك ثلاث عمليات أساسية تستخدم في حل المسائل المتعلقة بالمجموعات:
1- الاتحاد
2- التقاطع
3- المُتمِّمة.
تقابل هذه العمليات العمليات الحسابية على الأعداد كالجمع والطرح. ففي كل مرة تُجرى عملية على مجموعتين للحصول على مجموعة جديدة. وتطلق الكلمات اتحاد، تقاطع، متمِّمة على العمليات على المجموعات وكذلك على نواتج هذه العمليات.
اتحاد مجموعتين
هو المجموعة التي تتألف عناصرها من عناصر كلتا المجموعتين. ويستخدم لهذه العملية الرمز U حيث نكتب ص U ع ليعني اتحاد المجموعة ص والمجموعة ع ويُقرأ “ص اتحاد ع”.
اتحاد مجموعتين منفصلتين. لتكن
ص={1، 2، 3}،
ع ={4، 5}
عندئذ ص U ع = {1، 2، 3، 4، 5}
فاتحاد ص و ع يحتوي على جميع عناصر ص، وعناصر ع. وفي شكل فن، تُمثَّل ص U ع بالجزءين المظللين معاً. لاحظ أن ص تحتوي على ثلاثة عناصر، ع تحتوي على عنصرين، بينما تحتوي ص U ع على خمسة عناصر. وبما أن 5 = 3 + 2، فإن عدد عناصر اتحاد مجموعتين منفصلتين يساوي مجموع عناصر المجموعتين.
اتحاد مجموعتين متداخلتين. لتكن
ح = {فهد، وليد، مريم}
ق= {مريم، حاتم، سالم}
عندئذ تكون ح U ق= { فهد، وليد، مريم، حاتم، سالم}، ويمثل الجزء المظلل في الشكل ح U ق. نلاحظ أن عدد عناصر ح U ق هو خمسة بينما مجموع عدد عناصر ح وعدد عناصر ق هو 3+3=6، أي أن عدد عناصر اتحاد مجموعتين متداخلتين هو دائماً أقل من مجموع عددي عناصرهما.
لتكن هـ= {3 ، 6 ، 9 ، 12}
ف = { 6 ، 12}
عندئذ
هـ U ف = { 3 ، 6 ، 9 ، 12}
وهذا يتضح من المنطقة المظللة في شكل فن والتي تمثل الاتحاد هـ U ف. لذلك فإن اتحاد مجموعة مع مجموعة جزئية منها يساوي دائماً المجموعة نفسها.
تقاطع مجموعتين
هو المجموعة المؤلفة من العناصر المشتركة بين المجموعتين. فمثلاً، إذا كانت ق = {1، 2، 3} و ك = {2، 3، 4}، فإن تقاطع ق و ك هو مجموعة العناصر الموجودة في كل من ق، ك أي {2 ، 3}.
نستعمل الرمز n لعملية التقاطع. فتقاطع ق، ك هو ق n ك ويُقرأ “ق تقاطع ك”.
تقاطع المجموعات المنفصلة هو مجموعة خالية:
فإذا كانت ص={1 ، 2 ، 3}
ع= {4 ، 5}
فإن ص n ع= {}
كما في الشكل
أي أن تقاطع ص ، ع مجموعة خالية لعدم وجود عناصر مشتركة بينهما.
تقاطع المجموعات المتداخلة:
لتكن ب= {محمد، فاطمة، صالح}
ح ={عمر، على، فاطمة}
عندئذ ب n ح = { فاطمة}
وبما أن فاطمة هي العنصر المشترك الوحيد بين المجموعتين ب و ح، فإن تقاطع ب و ح هو مجموعة وحيدة العنصر هي {فاطمة} ويمثلها الجزء المظلل من شكل فن أعلاه.
تقاطع مجموعة ومجموعة جزئية منها:
لتكن ف= {12، 9، 6 ، 3}
ق= {6 ، 12}
عندئذ ف n ق= {6 ، 12}= ق لأن العناصر المشتركة بين ف و ق هي عناصر ق فقط. والجزء المظلل من شكل فن يمثل ف n ق، وهذا الجزء مطابق للدائرة التي تمثل المجموعة ق، لذلك فالتقاطع يساوي ق.
مُتمِّمة مجموعة
هي مجموعة العناصر في س التي لاتوجد في المجموعة ص.
فإذا كانت ص أي مجموعة جزئية من س فإن متممة ص هي عناصر س التي لاتوجد في ص. ويمثل الجزء المظلل في شكل فن متممة ص. ونرمز عادة لمتممة ص بالرمز ص. فمثلاً لنفرض:
س = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5}
ص = { 2، 3، 4}
عندئذ ص = {1 ، 5}.
لأن 1 ، 5 هي فقط العناصر التي في س وليست في ص كما هو موضح في شكل فن.
استخدامات نظرية المجموعات
في الحساب
تساعد نظرية المجموعات على فهم بعض المفاهيم الأساسية في التعامل مع الأعداد. فمثلاً، يمكن ربط مفهوم العدد بمقابلة عناصر مجموعتين متكافئتين عنصراً بعنصر.
حيث نلاحظ أن س تكافئ ص. ومع أن عناصر س تختلف عن عناصر ص، إلاَّ أنَّ هناك شيئاً مشتركاً بينهما، وهذا الشيء هو عدد العناصر في كل منهما. ويميز العدد رمزياً باستخدام الأرقام. فالرقم 4 مثلا، يرمز للعدد أربعة وهو عدد عناصر كل من المجموعتين س، ص. وقبل أن يعرف الإنسان كيف يَعُدُّ، كان يستخدم تكافؤ المجموعات ـ بدون أن يدرك ذلك ـ في حساب ممتلكاته. وتفسِّر نظرية المجموعات أيضًا لماذا يمكننا جمع أو ضرب الأعداد بأي ترتيب نريد لنحصل على الجواب نفسه، فمثلاً، 2+3 يساوي 3+2.
والجمع في الحساب يقابل في المجموعات اتحاد مجموعات منفصلة. فمثلاً لتفسير 2+3 و 3+2 عن طريق نظرية المجموعات نفرض أن تبين الأسهم أن كلاً من ج n ق و ق n ج لهما العدد نفسه من العناصر، ولذلك فإن 2+3 يساوي 3+2. ويعبِّر علماء الرياضيات عن ذلك بقولهم إن الجمع عملية إبدالية، أي أن الترتيب غير مهم، حيث يمكن جمع الأعداد مع بعضها البعض بأي ترتيب للحصول على جواب واحد. كما يستخدم علماء الرياضيات نظرية المجموعات لشرح خواص أخرى للعمليات الحسابية.
في الجبر
تلعب المجموعات دوراً مهماً في نواحٍ عدة. فإذا اعتبرنا في مسألة معينة أن الحرف س يرمز لأي من الأعداد من 1 إلى 10 فإننا نسمِّيه متغيرًا، كما نُسمِّي مجموعة الأعداد من 1 إلى 10 نطاق المتغير. ونقصد بحل المسألة إيجاد جميع الأعداد في النطاق، والتي عند التعويض بها عن المتغير س في المسألة نحصل على جملة صحيحة، كما نسمي هذه القيمة مجموعة الحل.
لنفرض في مسألة معينة أن نطاق س هو المجموعة ش= {4 ، 5 ، 6، 7 ، 8 ، 9} وأن المطلوب إيجاد قيم س التي تحقق الشرط: س يقبل القسمة على 2. لحل هذه المسألة، يُقسَّم كل عدد في النطاق س على 2، فنجد أن الأعداد 4، 6، 8 تقبل القسمة على 2 أما الأعداد 5، 7، 9 لا تقبل القسمة على 2. لذلك فإن مجموعة الحل هي {4، 6، 8}. وتعتمد مجموعة الحل لأي مسألة على طبيعة المسألة، ويمكن أن تكون منتهية أو غير منتهية. انظر: الجبر.
ويمكننا أيضًا استعمال العمليات على المجموعات، كالاتحاد والتقاطع، لفهم وحل مسائل جبرية معينة. فمثلاً، افرض أن نطاق س هو ش = {4، 5، 6، 7، 8، 9} والمطلوب إيجاد قيم س التي تحقق واحدًا من الشرطين: (1) س تقبل القسمة على 2، أو (2) س تقبل القسمة على3. نلاحظ أن الشرط (1) متحقق لقيمة 4، 6، 8 أي أن مجموعة حل الشرط(1) هي ص = {4، 6، 8}. أما بالنسبة للشرط (2) فإن مجموعة الحل هي ع = {6، 9}. وحيث إننا نبحث عن القيم التي تحقق الشرط (1) أو الشرط (2)، فإن هذه القيم هي اتحاد مجموعة حل (1) ومجموعة حل (2) أي أن مجموعة القيم المطلوبة هي: ص U ع = {4، 6، 8، 9} والشكل أدناه يوضح ذلك.
عندما نستبدل الرابط (أو) في المسألة السابقة بالرابط (و)، فإن مجموعة الحل هي قيم س التي تحقق الشرطين (1) و (2) معاً، أي هي المجموعة {6} والتي تساوي تقاطع ص و ع، كما هو موضح بالشكل التالي.
في الهندسة
المجموعات قيد البحث هي مجموعات من النقاط. والشكل أدناه يبين مجموعة من نقطتين أ،ب حيث مثلنا كل نقطة بدائرة سوداء صغيرة.
وعندما نصل بين هاتين النقطتين نحصل على قطعة مستقيمة نرمز لها بالرمز أ ب ونُسمِّي أ،ب نهايتي هذه القطعة المستقيمة. ويمكننا الحصول على نقاط كثيرة أخرى على هذه القطعة المستقيمة نفسها مثل ج، د، هـ … إلخ، لتلك القطعة المستقيمة أ ب والتي تتألف من النقطتين أ، ب وجميع النقاط الواقعة بينهما.
أيضاً يمكن بطريقة مماثلة اعتبار مجموعة النقاط على ظهر صفحة من الورق أو على حائط أو أي سطح منبسط. وإذا تخيلنا سطحاً منبسطاً يمتد بلاحدود بين كل اتجاه نحصل على مستوى، وفي هذا المستوى، يمكننا رسم منحنيات مغلقة بسيطة، وذلك بأن نبدأ من أي نقطة في المستوي برسم أي مسار، ثم نعود إلى النقطة نفسها بدون أن نرفع القلم عن المستوي وبدون أن يقطع المنحنى نفسه.
ومن الأمثلة على المنحنيات المغلقة البسيطة، الدوائر والمربعات والمثلثات. فالدائرة منحنى بسيط مغلق، ولكن نصف الدائرة ليست كذلك.
يقسم المنحنى البسيط المغلق المستوى إلى ثلاث مجموعات منفصلة من النقاط:
1- مجموعة النقاط الواقعة خارج المنحنى،
2- مجموعة النقاط الواقعة داخل المنحنى،
3- مجموعة النقاط الواقعة على المنحنى.
تُسمَّى مجموعة النقاط الواقعة داخل منحنى بسيط مغلق المنطقة،أما مجموعة النقاط الواقعة على المنحنى فتُسمَّى حدود المنطقة والمجموعتان معًا يشكلان منطقة مغلقة.
في الشكل التالي، النقطة أ تنتمي إلى مجموعة نقاط حدود المنطقة. أما النقطة ب فهي تنتمي إلى مجموعة النقاط داخل الدائرة بينما النقطة ج تنتمي إلى مجموعة النقاط الواقعة خارج الدائرة.
ويمكن استخدام عمليتي الاتحاد والتقاطع لوصف العلاقة بين الأشكال الهندسية. في الشكل أدناه، القطعتان المستقيمتان ج د، هـ و تتقاطعان في النقطة ر، وبلغة المجموعات فإننا نقول أن {ر} هي تقاطع مجموعة نقاط جـ د، ومجموعة نقاط و هـ، ونكتب: ج د n هـ و = {ر}
وفي الشكل التالي، تتألف القطعة المستقيمة ق ل من القطعتين المستقيمتين ق ك ، ك ل ويمكننا التعبير عن ذلك كما يلي: ق ك U ك ل = ق ل.
في المنطق
تساعد نظرية المجموعات في الحصول على استنتاجات مبنية على معطيات نسميها المقدمات المنطقية. وسنعرض فيما يلي كيفية توظيف نظرية المجموعات لاستنباط ثلاث نتائج منطقية بسيطة. سنفرض خلال الأمثلة الثلاثة أن المجموعة الشاملة هي طالبات مدرسة ابتدائية معينة.
مثال 1- المقدمة المنطقية الأولى: جميع طالبات المستوى الرابع يحفظن جدول الضرب، المقدمة المنطقية الثانية: أمل في الصف الرابع. والاستنتاج: أمل تحفظ جدول الضرب. لنرمز لمجموعة الطالبات اللاتي يحفظن جدول الضرب في المدرسة بالرمز ص. ولنرمز لمجموعة الطالبات في الصف الرابع بالرمز ع. من المقدمة المنطقية الأولى نستنتج أن ع مجموعة جزئية من ص. ولكن أمل عنصر في ع وبالتالي ص، أي أن أمل تحفظ جدول الضرب.
مثال 2- المقدمة المنطقية الأولى: بعض الطالبات في الصف الخامس يأخذن دروسًا إضافية. المقدمة المنطقية الثانية: هيفاء في الصف الخامس. والاستنتاج: قد تكون هيفاء تأخذ دروسًا إضافية أو قد لا تكون.
لتكن ح هي مجموعة الطالبات اللاتي يأخذن دروساً إضافية، وق مجموعة الطالبات في الصف الخامس. من المقدمة المنطقية، فإن بعضاً من عناصر ق تنتمي للمجموعة ح. لذلك فالمجموعتان متداخلتان وتقاطعهما هو مجموعة الطالبات في الصف الخامس اللاتي يأخذن دروسًا إضافية. وتفيدنا المقدمة المنطقية الثانية أن هيفاء عنصر في ق ولكن لاتفيدنا هل هيفاء موجودة في ح أم لا، وعليه فإن هيفاء قد تكون ممن يأخذن دروسًا إضافية وقد لا تكون كذلك.
مثال 3- لتكن المقدمة المنطقية الأولى: طالبات الصف الثالث لا يشاركن في النشاط الاجتماعي، المقدمة المنطقية الثانية: هند في الصف الثالث. فيكون الاستنتاج: هند لا تشارك في النشاط الاجتماعي. لنفرض ف مجموعة طالبات الصف الثالث، ولتكن هـ هي مجموعة الطالبات المشاركات في النشاط الاجتماعي. من المقدمة المنطقية الثانية فإن هندًا عنصر في ف ومن المقدمة المنطقية الأولى نستنتج أن ف ، هـ مجموعتان منفصلتان، أي لايوجد عناصر في ف تكون في ه. وبالتالي فإن هندًا ليست عنصراً في هـ، أي أن هندًا لاتشارك في النشاط الاجتماعي.
تاريخ
تطورت نظرية المجموعات نتيجة لنشوء مفهومين رياضيين جديدين خلال القرن التاسع عشر الميلادي، وهما المنطق الرمزي والمجموعات المجردة.
والمنطق الرمزي يعالج طرق استخدام الأنظمة والعمليات الرياضية في حل مسائل المنطق. ويعتبر عالم الرياضيات الإنجليزي جورج بول (1815-1864م) واضع أسس هذا العلم في العقد الخامس من القرن التاسع عشر الميلادي.
وفي العقد الثامن من القرن التاسع عشر الميلادي، استخدم عالم الرياضيات الألماني جورج كانتور (1845 – 1918م)، بعض أساليب المنطق الرمزي في دراسة المجموعات العددية. وقد طور من خلال ذلك نظاماً رياضياً سماه نظرية المجموعات، وكان الحافز له في ذلك رغبته في دراسة الخواص الجبرية للمجموعات غير المنتهية. فعلى سبيل المثال، أوضح كانتور كيف يمكن مقابلة عناصر مجموعتين متكافئتين وغير منتهيتين، عنصراً بعنصر. فمثلاً يمكن مقابلة مجموعة الأعداد الطبيعية مع مجموعة الأعداد الزوجية عنصراً بعنصر كما يلي.
حيث نلاحظ أن كلاً من المجموعتين غير منتهيتين. وهما متكافئتان، ومع ذلك فإن المجموعة الثانية مجموعة جزئية من الأولى وغير مساوية لها. وفي خلال العقدين السادس والسابع من القرن العشرين، أدرك علماء الرياضيات وخبراء التعليم أهمية المفاهيم المضمَّنة في نظرية المجموعات، في مساعدة طلاب التعليم العام على فهم أساسيات الحساب والرياضيات، فأصبحت مبادئ نظرية المجموعات جزءًا أساسيًاً مما يُسمَّى الرياضيات الحديثة. فباستخدام المجموعات يمكن للطلاب أن يستوعبوا مفاهيم أساسية مثل العدد والرقم، كما يمكنهم أيضاً توظيف المجموعات في المسائل المنطقية.
وفي وقتنا الحاضر لا يزال علماء الرياضيات وخبراء التعليم يؤكدون على أهمية الرياضيات الحديثة. ولكنهم مع ذلك لايغفلون التركيز على المهارات الأساسية في الحساب وطرق حل المسائل.
تمارين على نظرية المجموعات
1- إذا كان ص ={ 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9}
ع ={ 4 ، 6 ، 8 ، 10} اكتب عناصر ص U ع.
2- اكتب عناصر
ق={س: س عدد فردي أكبر من 11 وأقل من 22}.
3- إذا كان ح ={ عوامل العدد 6}، هـ={عوامل العدد 12}. اكتب عناصر ح n هـ.
4- أوجد اتحاد وتقاطع كل زوج من المجموعات التالية:
ص ={50 ، 25 ، 165 }
ع ={ 50 ، 33 ، 25 ، 20 }
ف ={1 ، 3، 5 ، 7}، ك={ 2 ، 4 ، 6 ،8}.
5- أوجد المجموعات المتساوية فيما يلي:
{ أ د ب، ج، د}،{ 1 ، 2 ، 3 ، 4}،
{ أحمد ، خالد، سعد}،{4، 2 ، 3 ،1}.
6- أوجد فيما يلي المجموعات المتكافئة فيما بينها:
{قطة، كلب، ثعلب}،{ أ، ب، جـ، د}
{قطة، ديك، غزال، أسد}،{3 ، 6 ، 9}.
7- إذا كانت ص هي {مجموعة الأعداد الطبيعية} فاكتب عناصر ص.
8- ارسم شكل فن للمسألة التالية:
إذا كانت ش ={ 1 ، 2 ، 3 ، 4، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9}، أوجد قيم س التي تحقق الشرطين التاليين {س: س عدد فردي}. ع ={س: س يقبل القسمة على 3}.
9- ارسم شكل فن الذي يمثل المسألة المنطقية التالية: جميع الطيور تبيض، العصافير من الطيور، العصافير تبيض.
10- إذا كانت ش={مربع، مستطيل، دائرة، مثلث}
ق={ دائرة}، فأوجد عناصر ق.
الأجوبـة
1- ص Uع ={ 3 ،4 ،5 ،6 ، 7 ،8 ،9 ،10}.
2- ق ={13 ، 15، 17، 19، 21}.
3- ح n هـ{1، 2، 3 ،}.
4- ح U هـ ={1، 2 ،3 6}.
5-{ 1، 2، 3 ،4}={ 4، 3، 2 ،1}.
6- المجموعة الأولى تكافئ الرابعة، المجموعة الثانية تكافئ الثالثة.
7-{ 1، 2، 3، 4، 5، …}.
-قَ ={مربع، مستطيل، مثلث}.
أنظر أيضاً
خطأ: لا توجد وحدة بهذا الاسم "Portal". خطأ: لا توجد وحدة بهذا الاسم "Portal".
- Category theory
- List of set theory topics
- Musical set theory concerns the application of combinatorics and group theory to music; beyond the fact that it uses finite sets it has nothing to do with mathematical set theory of any kind. In the last two decades, transformational theory in music has taken the concepts of mathematical set theory more rigorously (see Lewin 1987).
- Relational model - Borrows from Set Theory.
قراءات أخرى
- Keith Devlin, (2nd ed.) 1993. The Joy of Sets. Springer Verlag, ISBN 0-387-94094-4
- Tiles, Mary, 2004 (1989). The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise. Dover Publications.
- Johnson, Philip, 1972. A History of Set Theory. Prindle, Weber & Schmidt ISBN 0871501546
- Kunen, Kenneth, Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. North-Holland, 1980. ISBN 0-444-85401-0.