قائمة الصيغ المحتوية ط

قالب:Π (ثابت رياضي) فيما يلي قائمة بأشهر الصيغ التي تحتي على الثابت الرياضي π. تحوي القائمة فقط على الصيغ التي تبدو جديرة بالملاحظة من خلال حديث المقال عنها خصوصا، أو من خلال المقالات المتعلقة بها عموما كما في التقريبات المستعملة لحساب ط.

الهندسة الكلاسيكية

$C=2\pi r=\pi d,\,$

حيثC يمثل محيط دائرة، r هو نصف القطر وd القطر.

$A=\pi r^{2},\,$

حيثA مساحة دائرة وr نصف قطرها.

$A=\pi ab,\,$

حيثA مساحة قطع ناقص وa, b نصفي قطريه.

$V={4 \over 3}\pi r^{3},$

حيث V حجم كرة وr نصف قطرها.

$A=4\pi r^{2}\,$

حيث A المساحة السطحية لكرة وr نصف قطرها.

التحليل

تكاملات

$\int _{-\infty }^{\infty }{\text{sech}}(x)dx=\pi$

$\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$ (see π)

$\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\pi$ (see π)

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\pi$ (صورة تكامليل لـ arctan أو معكوس الظل على نطاقها الداخلي معطيا الفترة ظا).

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}$ (إنظر أيضا توزيع طبيعي).

$\oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i$ (عندما يلتف مسار التكامل مرة باتجاه عكس عقارب الساعة حول الصفر. إنظر أيضا صيغة تكامل كوشي)

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.$

$\int _{0}^{1}{x^{4}(1-x)^{4} \over 1+x^{2}}\,dx={22 \over 7}-\pi$ (إنظر أيضا إثبات أن 22/7 أكبر من ط).

متسلاسلات لانهائية ذات كفاءة

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}={\frac {\pi }{2}}$ (إنظر أيضاً مضروب ثنائي)

$12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}={\frac {1}{\pi }}$ (إنظرChudnovsky brothers)

${\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}={\frac {1}{\pi }}$ (إنظر Srinivasa Ramanujan)

${\frac {\sqrt {3}}{6^{5}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {((4k)!)^{2}(6k)!}{9^{k+1}(12k)!(2k)!}}\left({\frac {127169}{12k+1}}-{\frac {1070}{12k+5}}-{\frac {131}{12k+7}}+{\frac {2}{12k+11}}\right)=\pi$

المتسلسلات التالية مناسبة لحساب مراتب اختيارية من π:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)=\pi$ (إنظر Bailey-Borwein-Plouffe formula)

${\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)=\pi$

سلاسل لامنتهية أخرى

$\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$   (إنظر أيضا مسألة بازل ودالة زيتا)

$\zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}$

$\zeta (2n)={\frac {1}{1^{2n}}}+{\frac {1}{2^{2n}}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{4^{2n}}}+\cdots =(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\arctan {1}={\frac {\pi }{4}}$   (إنظر صيغة ليبنيز لحساب ط)

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^{3}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{3}}{32}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{4}}}={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+{\frac {1}{7^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{96}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{5}}}={\frac {1}{1^{5}}}-{\frac {1}{3^{5}}}+{\frac {1}{5^{5}}}-{\frac {1}{7^{5}}}+\cdots ={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{6}}}={\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+{\frac {1}{7^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{960}}$

$\pi =3+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(n-1)(2n-1)}}=3+{\frac {1}{{2}\cdot {1}\cdot {3}}}-{\frac {1}{{3}\cdot {2}\cdot {5}}}+{\frac {1}{{4}\cdot {3}\cdot {7}}}-{\frac {1}{{5}\cdot {4}\cdot {9}}}+\cdots$   (Madhava)

$\pi ={1}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{13}}+\cdots$   (Euler, 1748)

يتم تعيين الإشارات كما يلي. إذا كان المقام عدد أولي على الصورة (4m - 1): الإشارة موجبة; إذا كان المقام عدد أولي على الصورة (4m + 1): إشارة سالبة; للأعداد المتراكبة: حاصل ضرب إشارات عواملها; العامل 2 له إشارة موجبة.

صيغ مثيلة-ماتشن

 طالع أيضا: Machin-like formula

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$ (الأصلية صيغة Machin's)

${\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}$

${\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{2}}-\arctan {\frac {1}{7}}$

${\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}$

${\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}$

${\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}$

${\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}$

مضاريب لا منتهية

$\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {16}{15}}\cdot {\frac {36}{35}}\cdot {\frac {64}{63}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}$ (إنظر أيضا ضرب واليس)

صيغة فيتا:

${\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \cdots ={\frac {2}{\pi }}$

كسور مستمرة ثلاثية

$\pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}}}$

$\pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}$

$\pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}\,$

لتفاصيل أكثر خول هذه المتطابقة، انظرصيغة أويلر للكسر المستمر.

(انظر أيضا كسر مستمر وكسر مستمر معمم.)

منوعات

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$ (تقريب ستيرلنغ)

$e^{i\pi }+1=0\;$ (متطابقة أويلر)

$\sum _{k=1}^{n}\varphi (k)\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}$ (إنظر مؤشر أويلر)

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}\sim {\frac {6n}{\pi ^{2}}}$ (إنظرمؤشر أويلر)

$\Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}$ (إنظر أيضا دالة غاما)

$\pi ={\frac {\Gamma \left({1/4}\right)^{4/3}\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})^{2/3}}{2}}$ (حيث أن agm هو المتوسط الحسابي الهندسي)

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}(n\;{\bmod {\;}}k)=1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}$ (حيث mod هي دالة باقي القسمة)

$\lim _{n\rightarrow \infty }10^{n+2}\cdot \sin({\frac {1}{\underbrace {5555} _{\mathrm {n\;digits} }}})=\pi$ (حيث أن دالة الجيب sin مقدرة بالدرجات وليس بالراديان هنا)

فيزياء

• الثابت الكوني:

$\Lambda ={{8\pi G} \over {3c^{2}}}\rho$

• مبدأ الريبة:

$\Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}$

• معادلة آينشتين للمجال في النسبية العامة:

$R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}$

• قانون كولوم في القوة الكهربائية:

$F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}$

• نفاذية الفراغ المغناطيسية:

$\mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm {N/A^{2}} \,$

إنظر أيضا

• ط
• تقريبات عددية لحساب π
• قائمة مواضيع متعلقة بـ π

مراجع

• Peter Borwein, The Amazing Number Pi