الفضاء الشعاعي

الفضاء الشعاعي (الفضاء الخطي) هو كائن أساسي في دراسة الجبر الخطي.

فعندما نعتبر المتجهات مع العمليات المطبقة عليها من جمع متجهات وضرب قياسي وبعض العمليات الأخرى مثل الانغلاق لهذه العمليات، تجميعية هذه العمليات فإننا نصل لوصف كائن رياضي ندعوه (فضاءً شعاعياً).

المتجهات في الفضاء الشعاعي لا تمثل تحديداً متجهات هندسية بل يمكن أن تكون أي كائن رياضي يحقق بدهيات الفضاء الشعاعي. فكثيرات الحدود من الرتبة ≤n مع معاملات حقيقية تشكل فضاءً شعاعياً على سبيل المثال.

يشكل الفضاء الشعاعي كائناً رياضياً تجريدياً عظيم الفائدة في فروع الرياضيات الحديثة.

التعريف

افترض أن Ｆ هو حقل (مثل الأعداد الحقيقية، الأعداد العقدية) والذي عناصره تدعى كمية عددية. يعرف الفضاء الشعاعي في الحقل Ｆ على أنه مجموعة V هي مع عمليتين ثنائيتين

• جمع الأشعة.

v + w حيث v, w ∈ V

• ضرب قياسي (بعدد سلمي حقيقي).

av حيث a ∈ F وv ∈ V

1. جمع الأشعة هو عملية تجميعية:

من أجل u, v, w ∈ V لدينا u + (v + w) = (u + v) + w

1. جمع الأشعة هو عملية تبديلية:

من أجل v, w ∈ V لدينا v + w = w + v.

1. لعملية جمع الأشعة يوجد عنصر حيادي:

يوجد عنصر 0 ∈ V يدعى الشعاع الصفري بحيث v + 0 = v من أجل جميع الأشعة v ∈ V.

1. لعملية جمع الأشعة عنصر مقلوب:

من أجل جميع الأشعة v ∈ V يوجد عنصر w ∈ V يدعى الشعاع العكسي بحيث v + w = 0.

1. من الممكن تنفيذ عملية توزيع جداء القيم السلمية (العددية) على جمع الأشعة:

من أجل a ∈ F وv, w ∈ V لدينا a (v + w) = a v + a w.

1. من الممكن تنفيذ عملية توزيع جداء القيم السلمية على جمع الحقول:

من أجل a, b ∈ F وv ∈ V لدينا (a + b) v = a v + b v.

1. هناك عنصر حيادي لعملية الجداء السلمي:

من أجل v ∈ V لدينا 1 v = v حيث 1 هو العنصر الحيادي لعملية الجداء في الحقل الشعاعي F.