حركة توافقية بسيطة
الحركة التوافيقة البسيطة: هي حركة إهتزازية في خط مستقيم يتناسب فيها تسارع الكتلة طرديا مع مقدار الأزاحة، و يعاكسها في الإتجاه، و من الأمثلة عليها:
حركة كتلة مربوطة بنابض
يظهر في الصورة التالية "حركة كتلة مربوطة بنابض" نابض مثبت طرفه الاخر بجدار رأسي، و موسوعة على سطح مستو عديم الإحتكاك. عند سحب الكتلة من موضع إتزانها (س=0)، فإن الكتلة ستتحرك إزاحة مقدارها (س) عن هذا الموضع، و عند ترك الكتلة فإنها تتحرك حركة إهتزازية حول موضع الإتزان. و قد وجد أن القوة التي يؤثر بها النابض على الكتلة (قوة الإرجاع) مع الإزاحة تعطى بالعلاقة التالية:
ق = - أ س، حيث:
- ق: قوة إرجاع النابض، و تقاس بوحدة نيوتن.
- أ: ثابت المرونة للنابض، و يقاس بوحدة نيوتن / متر.
- س: إزاحة الكتلة عن موضع الإتزان، و تقاس بوحدة المتر.
لاحظ إشارة سالب (-) في العلامة السابقة و هي تعني أن قوة الإرجاع دائما بعكس إتجاه الإزاحة. و بتطبيق قانون نيوتن الثاني على حركة الكتلة المربوطة على النابض:
ق = ك ت، نجد أن:
- أ س = ك ت، أو:
ت = - أ ÷ ك × س ← ت = ∞ - س
أي أن تسارع الكتلة يتناسب طرديا مع مقدار الإزاحة، و يعاكسها في الإتجاه، و يسمى هذا النوع من الحركة بالحركة التوافقية البسيطة.
حركة البندول البسيط
يتكون البندول البسيط من كتلة مربوطة بخيط مثبت في حامل أفقي كما في الشكل صورة "البندول البسيط". عند إزاحة الكتلة بزاوية صغيرة (θم) عن الوضع الرأسي و تركها فإنها تتحرك متذبذبة على الجانبين.
عندما تكون الكتلة في أعلى موضع لها عند النقطة (أ)، فإن سرعتها تساوي صفراً و تكون الكتلة تحت تأثير مركبة الوزن (وجاθم) فإنها تعمل على نفس خط قوة الشد في الخيط. و عندما تترك الكتلة فإن الزاوية (θ) تتناقص حتى تصبح صفراً في الوضع الرأسي، ثم تبدأ بالزيادة حتى تصل إلى أكبر قيمة (θم) عند النقطة (ب) في الجهة المقابلة.
و بالتعويض في قانون نيوتن الثاني، نجد أن محصلة القوى في اتجاه الحركة هي:
Σ ق = ك ت، أي أن:
وجاθ = - ك ت
و حيث إن وزن الكتلة و = ك ج، ج= تسارع الجاذبية الأرضية، فإن:
ك جـ جاθ = - ك ت، أي أن:
- ت = - جـ جاθ.
و بما أن (θم) زاوية صغيرة (θ < 15)، فإن جاθ = (طول القوس ÷ نصف القطر) ≈ (س ÷ ل)، فإن:
ت = -(جـ ÷ ل) × س ← ت = ∞ - س
لاحظ هنا أن تسارع البندول يتناسب عكسيا مع الإزاحة، أي أن البندول البسيط يتحرك حركة توافقية بسيطة.
BY:anooos alomari
العلاقة بين الحركة الدائرية و التوافقية البسيطة
نفترض أن جسما ما يسير في مسار دائري نصف قطره (نق) و مركزه (م) كما في صورة "الحركة الدائرية"، و أن هذا الجسم بدأ الحركة من النقطة (أ) على محور السينات ماراً بالنقطة (هـ) بعكس إتجاه عقارب الساعة.
إن القوة المؤثرة على الجسم تكون دائماً بإتجاه المركز و لنفرض أن هذه القوى تساوي قم، نحلل هذه القوة إلى مركبتين متعامدتين قص، قس.
من صورة "الحركة الدائرية" يلاحظ أن قص = قم جاθ و إتجاهها إلى الأسفل، و بما أن:
جاθ = ص ÷ س، فإن قص = - قم ص ÷ نق. و بقسمة طرفي هذه المعادلة على الكتلة نحصل على:
تص = -تم = ص ÷ نق = - (تم ÷ نق) × ص، أي أن تسارع الجسم في الإتحاه الصادي يتناسب عكسيا مع الإزاحة، و عليه فإن مسقط حركة الجسم على المحور الصادي هي حركة تواقية بسيطة. و ينطبق الحديث نفسه على مسقط حركة الجسم على المحور السيني، أي أن الحركة في الإتجاه السيني هي أيضاً حركة توافقية يسيطة.
السرعة الزاوية
عندما يقطع جسم يسير في حركة دائرية منتظمة زاوية مقدارها ∆θ في زمن مقداره ∆ز، فإنه يقطع قوسا طوله ∆ل، كما يظهر في صورة "سرعة الزاوية". و لحساب مقدار سرعته يتم تقسيم طول القوس على الفترة الزمنية؛ أي أن:
ع = ∆ل ÷ ∆ز = نق ∆θ ÷ ∆ز = نق (∆θ ÷ ∆ز)
تعرف السرعة الزاوية (ملف:السرعة الزاوية.png) بأنها مقدار الزاوية التي يقطعها الجسم أثناء الحركة الدائرية في وحدة الزمن، أي أن:
ملف:السرعة الزاوية.png = ∆θ ÷ ∆ز. و بناء على ذلك فإن السرعة الخطية ع = نق ملف:السرعة الزاوية.png.
و من المعروف أن التسارع المركزي لجسم في حركة دائرة منتظمة تم = ع2 ÷ نق = (نق ملف:السرعة الزاوية.png)2 ÷ نق = نق ملف:السرعة الزاوية.png 2. و من خلال ذلك يمكن كتابة معادلة التسارع للحركة التوافقية البسيطة كالتالي:
تص = - (تص ÷ نق) × ص = - ملف:السرعة الزاوية.png 2 ص
و السرعة الزاوية ملف:السرعة الزاوية.png تساوي حاصل قسمة الزاوية الكلية التي يقطعها الجسم في دورة كاملة و تساوي (π2) على زمن الدورة (ن)، أي أن: ملف:السرعة الزاوية.png = π2 ÷ ن، و منه د (التردد) = 1 ÷ ن = ملف:السرعة الزاوية.png ÷ π2.
معادلات الحركة التوافقية البسيطة
فكانت نتيجة البند السابق العلاقات التي تربط تسارع الأجسام في الحركة التوافقية البسيطة مع الإزاحة، سواء في النابض أو البندول أو الحركة في مسار دائري منظم، فكانت على النحو الآتي:
| في النابض | ت = - (أ ÷ ك) × س | أو | ت = - (ملف:السرعة الزاوية.png2 س) |
| في البندول | ت = - (ج ÷ ل) × س | أو | ت = - (ملف:السرعة الزاوية.png2 س) |
| في الحركة الدائرية | ت = س = - تم ÷ نق × س | أو | تس = - (ملف:السرعة الزاوية.png2 س) |
قيمة الزاوية ملف:السرعة الزاوية.png تعتمد على:
- ثابت المرونة و كتلة الجسم في النابض.
- تسارع الجاذبية و طول الخيط في البندول.
- تسارع الجسم و نصف قطر المدار في الحركة الدائرية.
في الصورة "مركبات الحركة الدائرية" يكون الجسم في النقطة (هـ) فإنه يقطع المسافة (ص) على المحور الصادي.
و حيث إن ص = نق جاθ، فإن إزاحة الجسم الذي يتحرك حركة توافقية بسيطة تتغير كدالة جيبية بتغير الزاوية θ كما في الصورة. و بما أن الزاوية θ هي الزاوية التي قطعها الجسم في الزمن (ز) فإن θ = ملف:السرعة الزاوية.pngز، و بشكل عام يمكن كتابة معادلة الإزاحة في الحركة التوافقية البسيطة:
ص(ز) = صم جا(ملف:السرعة الزاوية.pngز + ϕ)
حيث:
- صم: أقصى إزاحة ممكنة للكتلة عن نقطة الإتزان و تساوي نق.
- ز: الزمن بوحدة الثانية.
- ϕ: زاوية ثابط الطور، وتحدد موضع الجسم عندما يكون الزمن يساوي صفراً، و تحسب من معرفة موضع الجسم و سرعته عند لحظة معينة.
لاحظ من الصورة "الإزاحة في الحركة التوافقية البسيطة" أن صم تمثل سعة الإهتزاز، و تساوي البعدين نقطة الإتزان و أبعد نقطة ممكنة للحركة، و أن الزمن الدوري (ن) هو الفترة الزمنية التي تفصل بين مرور الجسم في نقطتين متماثلتين في الطور من حيث:
- الموضع.
- إتجاه الحركة.
السرعة في الحركة التوافقية البسيطة
في الصورة "السرعة في الحركة الدائرية" يوجد جسم يتحرك حركة دائرية منتظمة بسرعة مقدارها (ع)، وعندما يكون اتجاه (ع) مماساً للدائرة، أي أن (ع) عمودية على نصف قطر الدائرة، و يمكن حساب مركبة السرعة في الاتجاه السيني:
ملف:مركبة السرعة في الاتجاه السيني.png
لاحظ أن جيب الزاوية = جيب تمام الزاوية المتممة
عس = ع جا(ملف:السرعة الزاوية.pngز)، و حيث أن ع = ملف:السرعة الزاوية.png نق، فإن:
عس = ملف:السرعة الزاوية.png نق جا(ملف:السرعة الزاوية.pngز)
و لحساب تسارع الجسم في أي لحظة يتم تعويض المعادلة
تس = - ملف:السرعة الزاوية.png2 سم جا(ملف:السرعة الزاوية.pngز).
الطاقة في الحركة التوافقية البسيطة
عندما يتحرك جسم مربوط بنابض على سطح أملس فإنه يمتلك نوعين من الطاقة:
- طاقة حركية، نتيجة سرعته و تعطى بالعلاقة طح = (1 ÷ 2) ك ع2.
- طاقة وضع مخزنة في النابض، نتيجة إستطالته و تعطى بالعلاقة طو = (1 ÷ 2) أ س2.
و يسمى مجموع هذين الشكلين من الطاقة بالطاقة الميكانيكية للنظام (طم)؛ أي أن:
طم = طو + طح طم = (1÷2) أ س2 + (1÷2) ك ع2
و بإهمال قوة الإحتكاك و [كتلة] النابض يكون مقدار الطاقة الميكانيكية ثابتاً عند جميع النقاط في مسار الجسم.
و في اللحظة التي يكون فيها الجسم أبعد ما يمكن عن نقطة الاتزان، تكون سرعته تساوي صفراً؛ أي أن: ملف:معادلة لتوضيح اللحظة التي يكون الجسم فيها أبعد ما يمكن عن نقطة الإتزان، حيث تساوي سرعته صفرا.png
لاحظ الصورة التي تمثل الطاقة الميكانيكية لكتلة مربوطة في نابض.
المصادر
- David Halliday (2001). Fundamentals of Physics , 6th ed, John Wiley & sons, Inc, New York.
- David Halliday (1997). Fundamentals of Physics: EXTENDED, 5th ed, John Wiley & Sons, Inc, New York.
- Franctis Weston Sears (1960). College Physics: Mechanics, Heat, and Souund, 3th ed, Addison - Wesley Iublishing Company, Inc, London.