تفاضل وتكامل

التفاضل والتكامل (باللاتينية: Calculus) فرع من فروع الرياضيات يدرس النهايات والاشتقاق والتكامل والمتسلسلات الانهائية. وهو علم يستخدم لدراسة التغير في الدوال وتحليلها.

ويدخل علم التفاضل والتكامل في العديد من التطبيقات في الهندسة والعلوم المختلفة حيث كثيرا ما يحتاج لدراسة سلوك الدالة والتغير فيها وحل المشاكل التي يعجز علم الجبر عن حلها بسهولة.وعادة مايدرس علم التفاضل والتكامل بعد دراسة أساسيات الجبر والهندسة وحساب المثلثات. ومن الموضوعات الرئيسية في هذا العلم هي النهايات والكميات الموحلة في الصغر.

و ينقسم إلى هذا العلم إلى فرعين هما التفاضل والتكامل ويربط بينهما ما يعرف بالنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. وفى بعض الأحيان قد يستخدم الاسم تفاضل وتكامل في الإشارة إلى أي نظام يستخدم في الحسبان ويستخدم فية الرموز في التعامل مع المصطلحات والمتغيرات المختلفة مثل تفاضل وتكامل لامبدا والتفاضل والتكامل الاقتراحى والتفاضل والتكامل العلائقى والتفاضل والتكامل المؤكد.

النهايات

تهتم بدراسة اتصال الدالة وقيمتها عندما يقترب تابعها من من قيمة معينة.

بفرض أن الدالة $f(x)\,$ هي دالة حقيقية وأن $c\,$ عدد حقيقي أيضا:

عندئذ يمكن القول:

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

أي أن الدالة $f(x)\,$ تكون قريبة جدا حسبما نريد من $L\,$ عندما تقترب $x\,$ من العدد $c$ ونعبر عن ذلك لغة (أن نهاية $f(x)\,$, عندما $x\,$ تؤول إلى $c\,$, هي $L\,$).

التفاضل والاشتقاق

يتم اشتقاق التفاضل للدالة $f(x)\,$ من التعريف الرئيسي للنهاية بالعلاقة:

$f'(x)={\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

التكامل

في علم الرياضيات ينقسم التكامل إلى جزئين: التكامل المحدود والتكامل الغير محدود. يتعلق التكامل المحدود بحساب الاطوال, المساحات, المنحنيات, مراكز الثقل وما إلى ذلك من الدوال التي لها تطبيقات في شتى العلوم. من جهة أخرى يركز التكامل الغير محدود على ايجاد المعكوس الرياضي للتفاضل ولهذا السبب يسمى أيضا بالاشتقاق العكسي.

الاشتقاق العكسي

يعطى التكامل الغير محدود لتابع $f(x)\,$ رياضي بالعلاقة:

$\int f(x)dx=F(x)+C$

حيث

$F'\!(x)={\frac {d}{dx}}F(x)=f(x)$

التكامل المحدود

يعبر عنه بالشكل الرياضي:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

تطبيقات

لعلم التفاضل والتكامل تطبيقات لا حصر لها في علوم الفيزياء الكلاسيكية والحديثة, الكيمياء, الهندسة, الاقتصاد, الحاسوب وحتى في الطب وبعض العلوم السياسية والادبية. هنا بعض الامثلة:

• حساب اطوال المنحنيات, المساحات, والحجوم.
• حساب مركز الثقل, عزم القصور الذاتي, كمية التحرك, العجلة, السرعة, الإزاحة, الشغل, الطاقة.
• حساب التوزيعات والاحتمالات المنتظمة كإحتمالية فيرمي في أشباه الموصلات, انتشار جراثيم في وسط معين تحت ظروف بيئية معينة.
• حل المعادلات التفاضلية وتطبيقاتها في الأنظمة الخطية مثل البندول, دوائر الرنين الكهربائية, وأنظمة التحكم الكهروميكانيكية.
• اشتقاق الكثير من المعادلات الفيزيائية الحديثة والتي يكون من الصعب اجرائها تجريبيا.
• حساب الثوابت الرياضية إلى درجات عالية من الدقة مثل قيمة ثابت الدائرة $\pi =3.141592653....\,$، الثابت الطبيعي $e=2.7182818....\,$ وكذلك الدوال الرياضية المعقدة وإمكانية برمجة هذه العمليات بواسطة الحاسوب.

تاريخ

يعتقد البعض ان علم التفاضل قد سبق التكامل كون التكامل عملية عكسية للتفاضل وهذا غير صحيح. فقد أظهرت الأدلة التاريخية استخدام التكامل بطرق غير مباشرة في حساب المساحات والحجوم كما كان في عهد المصريين القدماء في طريقة حساب حجم الهرم الناقص. كما تبعهم اليونانيون في استخدام طريقة الاستنزاف لحساب المساحات والحجوم ثم ازدهرت هذه الطريقة في عهد أرشيميدس الذي أدخل فكرة الخبرة المكتسبة والتي تمثل جزءَ أساسيا في علم التكامل. ثم انتقلت طريقة الاستنزاف إلى الصين حيث عملوا جاهدين على ايجاد مساحة الدائرة وحجم الكرة.

وفي العصر الإسلامي استطاع ابن الهيثم استخدام طريقة تكاملية لاستنباط الصيغة العامة لمجموع متوالية حسابية من الدرجة الرابعة. ثم ابتدع الصينيون معادلات تتعامل مع التكامل, وفي الهند بدأ الاشتقاق بالظهور على يد هندي رياضي وصف التغيرات المتناهية في الصغر كما توصل اخرون لمتسلسلات شيهة بمتسلسلة تايلور.

مع ظهور عصر النهضة بدأ الغرب بتعلم وترجمة الكتب القديمة كاليونانية, الحديثة كالعربية وتطوير علوم الرياضيات, الفيزياء, الكيمياء, وبعض العلوم الأخرى وتطور علم التفاضل والتكامل بشكل خاص على يد مؤسسه إسحاق نيوتن.