متغير عشوائي

المتغير العشوائي في الرياضيات، وبالتحديد في الاحتمالات والإحصاء، المتغير العشوائي (بالإنجليزية: Random Variable) متغير ذو قيمة متغيرة طبقًا للصدفة (أي أنه يحقق مفهوم العشاوة)، فلا يكون ثابتًا على قيمة معينة محددة. يساوي متغير عشوائي قيمة من القيم الممكنة المختلفة، لكل واحدة منهن احتمال ما.

لذلك فالمتغير العشوائي هو دالة رياضية تَنسِبُ لكلِ عينةٍ من فَضَاء العينات Ω، عددا مناسبًا من فضاء الأعداد الحقيقية $\mathbb {R}$.

تعريف رياضي

في تجربة احتمالات قمنا بها، حصلنا على فضاء العينات التالي $\Omega =\{{\omega }_{1},{\omega }_{2},{\omega }_{3},\cdots ,{\omega }_{n}\}$ ، نُعرف المتغيير العشوائي $X$ كما يلي :

$X:\Omega \to \mathbb {R}$، حيث :

$\forall i=1,2,\cdots ,n\,,\forall {\omega }_{i}\in \Omega ,\exists c\in \mathbb {R} :X({\omega }_{i})=c$

أي أن $X$ يأخذ كل حدث $\omega$ من فضاء العينات $\Omega$، ويربطه مع رقم معين ذو معنى - سنرى لاحقًا - من فضاء الأرقام $\mathbb {R}$. ع_ه

أمثلة

• مثال "أ" :

في تجربة بسيطة كتجربة رمي حجر النرد، مع التشديد على أن حجر النرد غير مزيف، يمكن لتجربتنا أن تنتهي بنتيجة من النتائج التالية : إما أنا حصلنا على الرقم 1 - الوجه العلوي للحجر -، أو على الرقم 2، .... ، أو على الرقم 6. لذلك فإن فضاء العينات لتجربتنا "رمي حجر الترد" هو $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$.
نُعرف المتغيير العشوائي $X$ بأنه الناتج نفسه من رمي حجر النرد، أي :
$\forall i=1,2,3,4,5,6\quad X({\omega }_{i})={\omega }_{i}$

لذلك فإن القيم التي يمكن للمتغيير العشوائي $X$ أن يأخذها هي أيضًا المجموعة $X=\{1,2,3,4,5,6\}$.

• مثال "ب" :

في تجربة أكثر تعقيدًا من التي في مثال "أ"، تقوم وزارة الإسكان بعمل إحصاء لسكان الدولة الذكور منهم. نختار رجلًا من مجموعة الرجال ونرمز له بـ $\omega$.
المتغيير العشوائي A هو عمر هذا الرجل, والمتغيير العشوائي C هو عدد أولاده.

$A:\Omega \to \mathbb {R} ,\omega \mapsto A(\omega )={\text{age of }}\omega$

$C:\Omega \to \mathbb {N} ,\omega \mapsto C(\omega )={\text{number of }}\omega {\text{'s children}}$

نلاحظ أن المتغيير العشوائي $C$ يربط كل حدث - رجل - برقم صحيح - أي بـ $\mathbb {N}$ - وليس برقم حقيقي $\mathbb {R}$، وهذا أمر ممكن، كونه يشير إلى عدد أولاد هذا الرجل، فلا يمكن أن يكون عدد أولاده كسورًا.

انظر أيضا

• توزيع احتمال،
• متجه عشوائي،
• حدث (نظرية الاحتمالات)،
• عنصر عشوائي (نظرية الاحتمالات)،
• عشاوة
• عملية تصادفية
• دالة عشوائية
• متغير عشوائي متعدد المتغيرات
• متغير قابل للملاحظة
• قياس عشوائي
• جبر المتغيرات العشوائية

مراجع

جهد ذاتي