دالة زيتا

دالة زيتا (اِقْتِرانُ ريمان الزَّائِيُّ حسب مجمع اللغة العربية بالقاهرة) دالة خاصّة لها أهمية عظيمة في نظرية الأعداد. تعريفها المشهور الصالح لأجل $\Re (s)>1$

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.$

يمكن تعريفها بصيغ أخرى عدبدة نخص بالذكر منها جداء أويلر

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p{\mbox{ prime}}}^{\infty }(1-p^{-s}).$

صيغة الدالة للأعداد الزوجية

هذه الصيغة تنسب لأولير, وهي تعطي قيمة ζ(2k) للأعداد الزوجية:

$\zeta (2k)={\frac {(-1)^{k-1}B_{2k}(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}$

حيث B_2k هي أعداد بيرنولي.

و هذه بعض القيم:

ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, ζ(8) = π⁸/9450

أما بالنسبة للأعداد الفردية, فلا توجد صيغة لحساب زيتا. فقط نعرف قيمة 3 التي هي: ζ(3) = 1,2020569،