طريقة نيوتن

في التحليل العددي، تعتبر طريقة نيوتن أو طريقة نيوتن-رافسون خوارزمية فعالة لإيجاد جذور تابع حقيقي. لذلك تعتبر مثالا لخوارزميات إيجاد الجذور. يمكن استخدامها لإيجاد الحدود العليا والحدود الدنيا لمثل هذه التوابع، عن طريق ايجاد جذور المشتق الأول للتابع.

الطريقة

التأويل الهندسي كما يلي: نختار قيمة أفصول قريبة من الصفر (جذر المعادلة). ونغير التمثيل المبياني بالمماس ونحسب الصفر التقريبي. صفر المماس هو قيمة تقريبية لجذر المعادلة, ومن ثم يمكن اعادة الحساب للحصول على حل أكثر قربا للحل.

عمليا, العمليات بالنسبة لf : [a, b] → R, دالة معرفة وقابلة للإشتقاق على المجال[a, b] نختار قيمة اعتباطيةx₀ (كلما كانت قريبة من الحل كلما كان أفضل). نحدد بالترجع بالنسبة لكل عدد صحيح طبيعيn:

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$

حيث f 'هي الدالة المشتقة للدالة f.

نستطيع أن نبين أنه إذا كانت f ' دالة متصلة والجذر المجهول α معزول, فإنه يوجد مجاور ل α حيث لكل قيم الانطلاق x₀ للجوار, المتتالية (x_n) تقترب من α. أكثر من ذلك, إذا كانت f '(α) ≠ 0, فإن التقارب رباعي أي أن عدد الأرقام الصحيحة تقريبا تتضاعف في كل مرحلة.