كثيرة حدود مثلثية

كثيرة حدود مثلثية هي تركيبة خطية منتهية (أي بطول محدد) للدوال المثلثية قالب:L2r و قالب:L2r حيث n هو عدد طبيعي. لحصول على نتيجة ذات قيمة حقيقية، تكون المعاملات حقيقية. عند استعمال المعاملات المركبة فنحن بصدد التعامل مع سلاسل فورييه.

تستعمل كثيرات الحدود المثلثية بكثرة. مثلا الاستيفاء المثلثي الذي يطبق على الدوال الدورية.

التعريف

كل دالة T من الشكل :

$T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\mathrm {i} \sum _{n=0}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbf {R} )$

مع a_n, b_n من المجموعة C (مجموعة الأعداد المركبة) من أجل 0≤n≤N تدعى كثيرة حدود مثلثية مركبة من الدرجة N قالب:Harv. باستعمال صيغة أويلر، كثيرة الحدود تكتب :

$T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nx}\qquad (x\in \mathbf {R} ).$

و بالمقابل، إذا كان a_n, b_n من المجموعة R (مجموعة الأعداد الحقيقية)، 0≤n≤N و a_N ≠ 0 أو b_N ≠ 0 فإنه

$t(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbf {R} )$

تدعى كثيرة حدود مثلثية حقيقية من الدرجة N أنظر قالب:Harv.

هوامش ومراجع

• Powell, Michael J. D. (1981), Approximation Theory and Methods, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-29514-7
• Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd ed.), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1, قالب:MathSciNet.