ط (رياضيات)

ط أو پاي (${\pi }$) أو ثابت الدائرة هو ثابت رياضي يستخدم في الرياضيات والفيزياء بشكل متكرر. الرمز ${\pi }$ مأخوذ من الحرف الإغريقي الصغير پاي.

يعرف ط على أنه النسبة بين محيط الدائرة وقطرها. وهو عدد حقيقي غير كسري أي لا يمكن كتابته على شكل $a/b$ حيث $a,b$ أعداد صحيحة. وهو أيضاَ عدد متسامي أي غير جبري.

يعرف هذا العدد أيضا باسم ثابت أرخميدس.

عندما يكون قطر دائرة =1، يكون محيطها= π.

ومن المعروف أن الأعداد غير النسبية لا يمكن تمثيلها بكسر عشري منته، لكن من المعتاد تقريب ط بالقيمة $3.14$ أو $22/7$.

تاريخ ط وحسابها التقريبي

حساب ط في العصور القديمة والوسطى

من غير المعروف كيف ومتى اكتشف الإنسان أن النسبة بين محيط الدائرة وقطرها هي نسبة ثابتة، لكن من الأكيد أن هذه الحقيقة قد عرفت منذ قديم الزمان. فالحضارات القديمة كالحضارة المصرية والبابلية تعاملت مع ط، كان البابليون يستخدمون التقريب $25/8$ بينما استخدم المصريون التقريب $256/81$. ويرجع حصر قيمة ${\pi }$ بين $22/7$ و$221/73$ إلى العالم اليوناني أرخميدس الذي ابتكر طريقة الاستنفاذ لحساب قيمة تقريبية للعدد ط.

في القرون التالية اهتم الفلكيون بتدقيق الحساب التقريبي لـ ط، وأوجد الفلكيون الهنود والصينيون عدة صيغ للقيمة التقريبية، وشارك العلماء المسلمون في تحسين تلك الصيغ، فتوصل جمشيد غياث الدين الكاشي في القرن الخامس عشر لحساب قيمة تقريبية صحيحة حتى ستة عشر رقم عشري.

الجدير بالذكر أن حساب العدد ط أو π كان قد وصل به غياث الدين الكاشي إلى 16 مرتبة عشرية قبل ظهور الالات الحاسبة بأربعمائة سنة.

حساب ط في العصر الحديث

مع ظهور الآلات الحاسبة ثم الحاسبات الالكترونية والنظرية الرياضية للنهايات والمتسلسلات اللانهائية تحسنت قدرة العلماء على حساب قيم تقريبية للعدد ط، ووصل السجل العالمي حتى عام 2002 إلى أكثر من تريليون رقم عشري. الجدير بالذكر أن فابريس حطم رقما قياسيا جديدا في 31 ديسمبر 2009 حين قام بحساب هذا العدد على حاسوب شخصي إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية، وقد استغرقه الحساب 131 استخدم خلالهاأسرع خوارزمية على الإطلاق حتى اليوم وكتب الشفرة المصدرية بلغة سي.

قيمة ${\pi }$ التقريبية حتى 1000 مرتبة عشرية:

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196 4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273 7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094 3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912 9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132 0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235 4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859 5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303 5982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989

صيغ حسابية للعدد ط

توجد طرق عديدة ومختلفة لنشر وحساب العدد ط منها النشر بواسطة سلاسل تايلور وماكلورين، النشر بواسطة متسلسلات فوريير، النشر بالنظام الثنائي، والنشر بالكسور المستمرة.

النشر بواسطة متسلسلة ماكلورين

إحدى المعادلات المعروفة لإيجاد ط هي :

$4*(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}\cdots \cdots )$

ويمكن استنتاج هذه الصيغة من متسلسلة ماكلورين للدالة قوس ظا ((بالإنجليزية: arctan)) حيث

$\arctan \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \!$

في الحقيقة لاتستخدم الالات الحسابية السلسلة السابقة (عند تعويض x =1) بسبب تقاربها البطيء ويمكن ملاحظة ذلك عند الوصول إلى رقم المليون وواحد مثلا ستكون الدقة لاتتجاوز خمس مراتب عشرية, وهكذا.

يمكن استعمال الصيغة الرياضية عند تعويضات x أكبر من الواحد للحصول على تقارب أسرع مثل:

$\pi ={\sqrt {12}}\,\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)\!$

وقد استطاع جون ماشن تسريع التقارب السابق وحساب ط حتى 100 مرتبة عشرية باستخدام قانون قوس الظل:

${\frac {\pi }{4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}\!$

وهي الطريقة التي استعملت فيما بعد في أجهزة الحاسوب وحتى عهد قريب.

سلاسل أخرى

هناك حسابات أخرى مثل:

• صيغة فييه

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \cdots \!$

• مضروب واليس:

${\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots \!$

اما في العصر الحديث فقد ظهرت خوارزميات أكثر تقاربا بكثير مثل:

• سلسلة سرينيفاسا:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}\!$

• سلسلة الاخوان تشوندوفيسكي التي سمحت لاول مرة تقريب ط لمليار مرتبة عشرية عام 1989 باستخدام الحاسوب العملاق:

${\frac {426880{\sqrt {10005}}}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}\!$

و كان لخواريزمية برنت سالامن الاكتشاف الاروع والتي تبدأ بوضع:

$a_{0}=1\quad \quad \quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\quad \quad \quad t_{0}={\frac {1}{4}}\quad \quad \quad p_{0}=1\!$

ثم المعاودة:

$a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\quad \quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}\!$

$t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}\quad \quad \quad p_{n+1}=2p_{n}\!$

حتى تصبح a_n وb_n متقاربة بما يكفي. ويعطى تقريب π

$\pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.\!$

ثم اكتشف علاقة أكثر ادهاشا:

$\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right),$

كونها بصيغة كسرية يمكن بها استخلاص الارقام السداسية عشر والثنائية دون حساب سابقاتها وبها امكن الوصول إلى 1,000,000,000,000,000 مرتبة ثنائية.

في عام 2006 استطاع سيمون بلوف توليد سلسلة من الصيغ المدهشة بوضع q = e^π]], وبالتالي

${\frac {\pi }{24}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {3}{q^{n}-1}}-{\frac {4}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)$

${\frac {\pi ^{3}}{180}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\left({\frac {4}{q^{n}-1}}-{\frac {5}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)$

وأخرى بالشكل,

$\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right)$

حيث q = e^π, k هو عدد فردي, وa, b, c are اعداد نسبية. إذا كانت k على الشكل 4m + 3, تصبح الصيغة بالشكل المبسط,

$p\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {2^{k-1}}{q^{n}-1}}-{\frac {2^{k-1}+1}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)$

صيغة بيلارد

• تم تحسين منشور سيمون بلوف بواسطة فابريس بيلارد واكتشاف صيغة حسابية جديدة أسرع بحوالي 43% من سابقتها كما أمكنه ولأول مرة بها حساب ط لرقم قياسي جديد على حاسوب شخصي لايتجاوز سعره 3000 دولار (وصل إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية مقارنة بالحساب السابق الذي تم بمساعدة الحاسوب العملاق للوصول إلى 2.6 ترليون مرتبة عشرية أو 1,000,000,000,000,000 مرتبة ثنائية) مع نهاية عام 2009 وتدعى هذه الصيغة بصيغة بيلارد:

${\begin{aligned}\pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\,\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}\right.&{}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}\left.{}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)\end{aligned}}$

صيغ الكسر المستمر

يمكن أيضا تمثيل ط في صيغة كسر مستمر بالشكل:

$\pi =3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+{\cfrac {9^{2}}{6+{\cfrac {11^{2}}{6+{\cfrac {13^{2}}{6+{\cfrac {15^{2}}{6+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}\ ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+{\cfrac {5^{2}}{11+{\cfrac {6^{2}}{13+{\cfrac {7^{2}}{15+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}$

ط والعلوم الأخرى

الفيزياء

يمكن رؤية العدد ط أو π في العديد من القوانين الفيزيائية من أهمها:

• الثابت الكوني:

$\Lambda ={{8\pi G} \over {3c^{2}}}\rho$

• مبدأ الريبة, الذي ينص على أن قياس موضع جسيم (Δx) وكمية التحرك (Δp) لايمكن لكليهما أن يكونا صغيرين في نفس الوقت:

$\Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}$

• معادلات المجال لآينشتين في النسبية العامة:

$R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}$

• قانون كولوم للقوة الكهربائية, يصف القوة بين شحنتين كهربائيتين(q₁ and q₂) تفصلهما مسافة r:

$F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}$

• الثابت المغنطيسي:

$\mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm {N/A^{2}} \,$

• قوانين كبلر, التي تربط بين الزمن المداري (P) والمحور الإهليجي الأكبر a والكتل(M وm) لجسمين مداريين حول بعضهما:

${\frac {P^{2}}{a^{3}}}={(2\pi )^{2} \over G(M+m)}$

الاحتمالات والإحصاء

في علم الاحتمالات والإحصاء، توجد العديد من التوزيعات التي تحوي العدد π ضمنها مثل:

• دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع المنتظم بالمتوسط μ والانحراف المعياري σ, نتيجة للتكامل الغاوسي:

$f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}$

• دالة الكثافة الاحتمالية لتوزيع كوشي:

$f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.$

وصلات داخلية

• ثابت رياضي

وصلات خارجية

• العدد باي على شبكة الرياضيات رمز
• باي حتى 4 ملايين خانة