منطق رياضي

عناصر المنطق

جملة

الجملة في مجموعة حروف ورموز لها معنى, مثال:

• 2+3=5
• 5*9=45

من الممكن دراسة هذه العبارات من وجهات نظر مختلفة, مثلا المتغيرات تأخد قيما متعددة نرمز لها عادة بـ" X "، أو " س " بالعربية. كما يمكن دراسة صحة أو خطأ العبارة.

عبارة

تصبح إذا أمكن معرفة صحة أو خطأ العبارة نسمي عبارة كل نص رياضي له معنى ويكون إما صحيحاو إما خاطئا أما الدالة العبرية (خاصية لمتغير) فهي كل نص رياضي له معنى ويحتوي على متغير ويصبح عبارة كلما عوضنا المتغير بقيمة معينة

جًمل منطقية [الجمل الفعلية مفيدة] يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ وليس كليهما القضية المنطقية { تعريف} هي جملة خبرية مفيدة يحتمل معناها الصواب أو الخطأ وليس كليهما من أمثلة الجمل التي تكون قضايا 1) 2+3=7 2) صنعاء عاصمة اليمن 3) مجموع زوايا المثلث 180 ْ ملاحظة : ليس من الضروري أن تكون الجملة صحيحة جًمل ليست منطقية [الجمل الاسمية] والتي لا يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ من أمثلة الجمل التي لا تكون قضايا الجمل التي تيدأ أستفهام – سؤال – تعجب – نداء – طلب... بصورة عامة كل الجمل التي لا يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ مثل : 1) ما أجمل السماء ! 2) كم الساعة ؟

النفي

نفي العبارة P هي عبارة صحيحة إذا كانت P خاطئة, وخاطئة إذا كانت P صحيحة. ونرمز لنفي P ب $\neg P$.

جدول الحقيقة

P	$\neg P$
0	1
1	0

العطف

عطف العبارتين p و Q تكون صحيحة فقط إذا كانت العبارتين معا صحيحتين. ونرمز له ب $P\wedge Q$

جدول الحقيقة

P	Q	$P\wedge Q$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

الفصل

فصل العبارتين p و Q تكون صحيحة فقط إذا كانت إحدى العبارتين صحيحة. ونرمز له ب $P\vee Q$

جدول الحقيقة

P	Q	$P\vee Q$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

الاستلزام

تكون العبارة P تستلزم Q، خاطئة فقط إذا كانت P صحيحة و Q خاطئة.

و نرمز لها ب: $Q\Leftarrow P$ وهي تكافئ العبارة: $\neg P\vee Q$.

جدول الحقيقة

P	Q	$Q\Leftarrow P$
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

التكافؤ

تكافؤ العبارتين $P\,$ و$Q\,$ هو $(Q\Leftarrow P)\wedge (P\Leftarrow Q)$, ونرمز له ب: $Q\Leftrightarrow P$

جدول الحقيقة

P	Q	$Q\Leftrightarrow P$
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

القوانين المنطقية

القوانين المنطقية عبارة عن جمل مكونة من عدة عبارات مرتبطة فيما بينها بروابط منطقية وتكون دائما صحيحة بغض النظر عن صحة أو خطأ العبارات المكونة لها.

أمثلة:

1. $\neg (\neg P)\Leftrightarrow P$
2. $(P\wedge Q)\Leftrightarrow (Q\wedge P)$
3. $\neg (P\wedge Q)\Leftrightarrow (\neg P)\vee (\neg Q)$
4. $\neg (P\vee Q)\Leftrightarrow (\neg P)\wedge (\neg Q)$

المثالين الأخيرين, يعرفان بقوانين ديمورجان [De Morgan's laws].

دوال العبارة

الدالة العبارة, هي تطبيق من مجموعة قيم المتغيرات نحو مجموعة مكونة من العنصرين صحيح وخطأ.

مثال:

بالنسبة للعبارة: "x عدد صحيح طبيعي, x+3=10." نحصل على دالة من $\mathbb {N} \$ إلى $\{0,1\}\,$ بحيث:

${\begin{matrix}\mathbb {N} \ \rightarrow \{0,1\}\\0\mapsto 0\\7\mapsto 1\end{matrix}}$

الكموميات

هناك نوعان وجودية وكونية.

1. الوجودية تعني وجود عناصر تحقق عبارة ما, مثل يوجد x من $\mathbb {N} \$ بحيث: $x^{2}-1=0\,$

نرمز للوجودية بالرمز $\exists$.

1. الكونية تعني أن عبارة ما تكون دائما صحيحة مهما تغيرت قيمة المتغير, مثل كيما كانت قيمة x من $\mathbb {R} \$ لدينا $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1\,$

نرمز للكونية بالرمز $\forall$.

الكموميات والروابط المنطقية

عندما يكون هناك وجوديات, النفي يعبر عنه ب:

$\neg [(\forall x\in \ E)A(x)]\Leftrightarrow [(\exists x\in \ E)\neg A(x)]$

$\neg [(\exists x\in \ E)A(x)]\Leftrightarrow [(\forall x\in \ E)\neg A(x)]$

مع E مجموعة تتضمن الخاصية A.

تطبيق على نظرية المجموعات

هناك علاقة بين نظرية المجموعات والمنطق.

الاستلزام والتضمن

نسمي جزء A(أو مجموعة صغرى) لمجموعة E كل عناصر المجموعة A التي تنتمي إلى E.

و نكتب:

$A\subset E$

نقول أن المجموعة A ضمن المجموعة E, يكافئ أن كل عنصر x من A, يستلزم أن xينتمي إلى E. ==مجموعة الأجزاء== ويكتب المنطق ب7888

مجموعة الأجزاء

كل مجموعة لها عدة أجزاء, وهذه الأجزاء تكون مجموعة الأجزاء.

التساوي والتكافؤ

المجموعة A تساوي المجموعة B, تكافئ لكل x من x :E من A يكافئ x من B.

المتمم والنفي

متمم الجزء A, هو الجزء B الذي عناصره لا تنتمي إلى A.

علق حاتم على هذه فقال :

المتممة أمر نسبي

قبل أن نتكلم عن متممة مجموعة نحتاج إلى أن نتفق على ما يسمى " المجموعة الشاملة "

مثال

إذا كانت

المجموعة الشاملة = ش

ش = { 1 ،9، 5، 3، 2 }

أ = { 1، 9 }

متمم أ هو ب

ب = { 5، 3، 2 }

لا حظ عناصر ب لا تنتمي إلى أ

x ينتمي إلى A, يكافئ x لا ينتمي إلى B.

التقاطع والعطف

تقاطع المجموعتين A و B, هي مجموعة العناصر المشتركة C, التي نرمز لها ب: $A\cap B\,$.

x من C يكافئ: x من A و x من B.

الاتحاد والفصل

اتحاد المجموعتين A و B, هي المجموعة C التي عناصرها تنتمي إلى أحد المجموعتين, والتي نرمز لها ب: $A\cup B$.

x من C يكافئ: x من A أو x من B. =خاصيات عطف التقاطع والاتحاد في مجموعة الأجزاء=

الفرق

ِA-B هي المجموعة التي تحوي كل العناصر التي تنتمي لـ A ولا تنتمي لـ B $A-B=\{a:(a\in \ A)\wedge (a\notin \ B)\}$

الفرق المتماثل

تطبيق في البرهنة الرياضية

برهنة: $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

لكي نبرهن تساوي بين مجموعتين A و B يجب أن نبرهن لكل عنصر x:

x ينتمي لـ A إذا وفقط إذا x ينتمي لـ B في هذه الحالة علينا أن نبرهن:

$x\in (A\cap (B\cup C))\Leftrightarrow x\in ((A\cap B)\cup (A\cap C))$

برهان:

$x\in (A\cap (B\cup C)){\overset {1}{\Leftrightarrow }}$

$(x\in A)\land (x\in (B\cup C)){\overset {2}{\Leftrightarrow }}$

$(x\in A)\land ((x\in B)\lor (x\in C)){\overset {3}{\Leftrightarrow }}$

$((x\in A)\land (x\in B))\lor ((x\in A)\land (x\in C)){\overset {4}{\Leftrightarrow }}$

$(x\in (A\cap B))\lor (x\in (A\cap C)){\overset {5}{\Leftrightarrow }}$

$x\in ((A\cap B)\cup (A\cap C))$

شرح الخطوات:

1و4- حسب تعريف التقاطع $x\in (A\cap B)\Leftrightarrow (x\in A)\land (x\in B)$

2و5- حسب تعريف الإتحاد $x\in (A\cup B)\Leftrightarrow (x\in A)\lor (x\in B)$

3-

نبرهن: $(x\in A)\land ((x\in B)\lor (x\in C))=((x\in A)\land (x\in B))\lor ((x\in A)\land (x\in C))$

بواسطة جداول الحقيقة التابعة لـ $\land$ و$\lor$

جدول الحقيقة لـ $(x\in A)\land ((x\in B)\lor (x\in C))$

$(x\in A)$	$(x\in B)$	$(x\in C)$	$(x\in B)\lor (x\in C)$	$(x\in A)\land ((x\in B)\lor (x\in C))$
0	0	0	0	0
1	0	0	0	0
0	1	0	1	0
1	1	0	1	1
0	0	1	1	0
1	0	1	1	1
0	1	1	1	0
1	1	1	1	1

جدول الحقيقة لـ $((x\in A)\land (x\in B))\lor ((x\in A)\land (x\in C))$

$(x\in A)$	$(x\in B)$	$(x\in C)$	$(x\in A)\land (x\in B)$	$(x\in A)\land (x\in C)$	$((x\in A)\land (x\in B))\lor ((x\in A)\land (x\in C))$
0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0
1	1	0	1	0	1
0	0	1	0	0	0
1	0	1	0	1	1
0	1	1	0	0	0
1	1	1	1	1	1

الجدولان متساويان لذلك العبارتان متكافئتان

المنطق الرياضي والدوائر الكهربية

بمكن تحويل كل جمل المنطق الرياضي إلى دوائر كهربية تستخدم في الحاسب الآلي لإجراء العمليات الحسابية والمنطقية ويمكن الاطلاع على تفاصيل ذلك هنا لمزيد من المعلومات

المنطق الرياضي والبرمجة

يفيد فهم المنطق الرياضي في إجراء عمليات البرمجة المعقدة والتي تحوي الجمل الشرطية المتداخلة اللازمة لتحقيق هدف معين أو حل مشكلة محددة بواسطة البرنامج.

انظر أيضا

بوابة منطقية