عرض مصدر تغير الضغط بالارتفاع

'''الصيغة البارومترية''' أو '''الأس الجوي''' هي صيغة نموذج رياضي تبين مدى تغير ظغط الهوء مع الارتفاع.
تتغير [[كثافة الهواء]] وبالتالي يتغير [[ضغط جوي|الضغط الجوي]] بالارتفاع عن سطح [[أرض|الأرض]] . ويمكن القول بالتقريب أن الضغط الجوي يتخفض بمعدل 1 هكتوباسكال ( أي 100 [[باسكال (توضيح)|باسكال]]) كلما ارتفعنا 8 أمتار عن سطح الأرض. 

== الصور الرياضية ==
=== صيغة الضغط ===
توجد معادلتان لحساب الضغط على ارتفاعات مختلفة (حتى 86 كم). تستعمل الأولى عندما لا تكون قيمة الحرارة القياسية [[معدل هبوط|لمعدل الهبوط]] صفراً، بينما الثانية عندما تصبح الحرارة صفر.

المعادلة الأولى:
:<math>P=P_b \cdot \left[\frac{T_b}{T_b + L_b\cdot(h-h_b)}\right]^\frac{g_0 \cdot M}{R^* \cdot L_b}</math>

المعادلة الثانية:
:<math>P=P_b \cdot e^ \left[\frac{-g_0 \cdot M \cdot (h-h_b)}{R^* \cdot T_b}\right]</math>

حيث
:<math>P_b\,</math> = الضغط الساكن (باسكال)
:<math>T_b\,</math> = الحرارة القياسية ([[كلفن]])
:<math>L_b\,</math> = معدل هبوط الحرارة القياسية (كلفن لكل متر)
:<math>h\,</math> = الارتفاع فوق مستوى سطح البحر (بالأمتار)
:<math>h_b\,</math> = الارتفاع في قاع الطبقة b (بالأمتار, مثلا, <math>h_1\,</math> = 11,000 متر)
:<math>R^*\,</math> = [[ثابت الغازات العام|ثابت الغاز]] للهواء: 8.31432 نيوتن·متر / (مول·كلفن)
:<math>g_0</math> = التسارع الأرضي (9.80665 م/ث²)
:<math>M</math> = كتلة هواء الأرض الجزيئية (0.0289644 كيلوغرام/مول)

=== معادلات الكثافة ===
تشبه تعبيرات حساب الكثافة تلك المستخدمة في حساب الضغط إلى حد كبير والفرق الوحيد هو الأس في المعادلة الأولي.
المعادلة الأولى:
:<math>{\rho}=\rho_b \cdot \left[\frac{T_b}{T_b + L_b\cdot(h-h_b)}\right]^{\left(\frac{g_0 \cdot M}{R^* \cdot L_b}\right)+1}</math>

المعادلة الثانية:
:<math>{\rho}=\rho_b \cdot \exp\left[\frac{-g_0 \cdot M \cdot (h-h_b)}{R^* \cdot T_b}\right]</math>

حيث
:<math>{\rho}\,</math> = كثافة الكتلة (كغ/م³)
:<math>T\,</math> = الحرارة القياسية ([[كلفن]])
:<math>L_b\,</math> = معدل هبوط الحرارة القياسية (كلفن لكل متر)
:<math>h\,</math> = الارتفاع فوق مستوى سطح البحر (بالأمتار)
:<math>R^*\,</math> = [[ثابت الغازات العام|ثابت الغاز]] للهواء: 8.31432 نيوتن·متر / (مول·كلفن)
:<math>g_0</math> = التسارع الأرضي (9.80665 م/ث²)
:<math>M</math> = كتلة هواء الأرض الجزيئية (0.0289644 كيلوغرام/مول)

== تعيين دالة التغير ==
[[ملف:Veranschaulichung der hydrostatischen Grundgleichung.png|thumb|وحدة الحجم والقوى المؤثرة عليه من أعلى وأسفل.]]
[[ملف:Barometric formula2.png|thumb|400px|تغير الضغط بالمليمتر زئبق بتغير الارتفاع حتى ارتفاع 12000 متر.]]
نتخيل حجما dV من الهواء في شكل مكعب ذو ضلع طوله <math>A \,</math> يحتوي على هواء كثافته <math>\rho\,</math> ونتخيل تغير بسيط في الارتفاع مقداره <math>\mathrm{d}h\,</math> . تعمل على السطح من أسفل قوة الضغط الجوي p وتبلغ بالنسبة للمساحة المختارة <math>p \cdot A</math>. 
وأما القوة المؤثرة على المساحة الأرضية للمكعب من أعلى فهي تتكون من القوة الناشئة عن وزن كمية الهواء في المكعب dm بالإضافة إلى ضغط الجو الماثل على المساحة من أعلى p+dp). A).

في حالة التوازن حيث لا يحدث تغير في حالة مكعب الهواء تحت النظر نحصل على معادلة القوى: 

:<math>p \cdot A - \rho g \, \mathrm{d}h \cdot A - (p + \mathrm{d}p) \cdot A = 0</math>

<math>\mathrm{d}m \cdot g = \rho \, \mathrm{d}V \cdot g = \rho g \, \mathrm{d}h \cdot A</math> 

<math>\mathrm{d}V = A \cdot \mathrm{d}h</math> 

حيث g عجلة الجاذبية الأرضية (81و9 متر /ثانية/ثانية).
وبتغيير طرفي المعادلة نحصل على:

:<math>\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}h} = -\rho g</math>

وبمراعاة قانون الغازات في حالة الغاز المثالي ، يمكننا كتابة كثافة الهواء <math>\rho</math > كالآتي:

<math>\rho = \frac{p M}{R T}</math>

فنحصل على:

{| <!-- äußere Tabelle für Abstand vom linken Rand -->
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" style="border-collapse:collapse;"
|<math>\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}h} = - \frac{p M g}{R T}</math>
|}
|}

''M'' كتلة مولية لغازات الجو (0,02896&nbsp;kg mol<sup>−1</sup>), 

''R'' ثابت الغازات = 8,314&nbsp;J K<sup>−1</sup> mol<sup>−1</sup>

''T'' درجة الحرارة [[كلفن]]
   
تعطي هذه المعادلة كمية تغير الضغط <math>\mathrm{d}h</math> عندما يتغير الارتفاع تغيرا طفيفا <math>\mathrm{d}h</math>.وكما تبين علامة الناقص لتغير الضغط بالناقص عندما يزيد الارتفاع . أي ينقص الضغط بزيادة الارتفاع عن سطح الأرض. وبناء على ذلك يقل متوسط الضغط الجوي على مستوى البحر (<math>p</math> = 1013&nbsp;hPa) عند درجة حرارة 288 كلفن (15 درجة مئوية) بمقدار 12و0 هكتوباسكال لكل متر نرتفعه ، أي بمعدل 100 [[باسكال (توضيح)|باسكال]] لكل 3و8 متر فرق للارتفاع .وعند الارتفاعات الكبيرة يقل كثافة الهواء كما تتغير درجة الحرارة بالارتفاع ، فيقل معدل تغير الضغط بالارتفاع . 

== اشتقاق تقريبي ==
بافتراض ثبات درجة الحرارة T ، واجراء التكامل في المعادلة السابقة نحصل على:

{|cellpadding="5"
|
|<math>\int_{p(h_0)}^{p(h_1)} \frac{\mathrm{d}p}{p} = - \frac{M g}{R T} \, \int_{h_0}^{h_1} \mathrm{d}h</math>
|-
|<math>\Leftrightarrow</math>
|<math>\ln\left(\frac{p(h_1)}{p(h_0)}\right) = - \frac{M g}{R T} (h_1 - h_0) =  - \frac{M g}{R T} \Delta h</math>
|-
|<math>\Leftrightarrow</math>
|<math>\frac{p(h_1)}{p(h_0)} = e^{- \frac{M g}{R T} \Delta h}</math>
|-
|<math>\Leftrightarrow</math>
|<math>p(h_1) = p(h_0) e^{- \frac{M g}{R T} \Delta h}</math>
|}

وباجراء التبسيط بواسطة ما يسمى مدرّج الارتفاع <math>h_s </math> نحصل على :
:: <math>h_s = \frac{RT}{Mg}</math> 

{| <!-- äußere Tabelle für Abstand vom linken Rand -->
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" style="border-collapse:collapse;"
|<math> p(h_1) = p(h_0) e^{-\frac{\Delta h}{h_s}}</math>
|}
|}

فكل زيادة للارتفاع بمقدار <math>h_s</math> يقل الضغط الجوي بمقدار <math>e \approx 2{,}7</math>. لهذا يعتبر مدرّج الارتفاع مقياس طبيعي للضغط الجوي وتغيره . وهو يبلغ في مثالنا الحالى عند درجة حرارة 15 مئوية 8.4 كيلومتر. 
 
كما ينطبق ذلك على تغير كثافة الهواء بالارتفاع :
{| <!-- äußere Tabelle für Abstand vom linken Rand -->
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" style="border-collapse:collapse;"
|<math> \rho(h_1) = \rho(h_0) e^{-\frac{\Delta h}{h_s}}</math>
|}
|}

حيث:

<math> \rho(h_0)\, </math> كثافة الهواء عند سطح البحر 

<math> \rho(h_1)\, </math> كثافة الهواء عند العلو<math>h_1\, </math>.

[[تصنيف:علم أرصاد جوية]]
[[تصنيف:فيزياء]]

[[de:Barometrische Höhenformel]]
[[en:Barometric formula]]
[[fi:Isoterminen ilmakehä]]
[[fr:Formule du nivellement barométrique]]
[[it:Formula ipsometrica]]
[[nn:Hydrostatisk likning]]
[[no:Hydrostatisk ligning]]
[[pl:Wzór barometryczny]]
[[pt:Equação barométrica]]
[[ru:Барометрическая формула]]
[[sl:Barometrska enačba]]
[[sv:Barometriska höjdformeln]]
[[uk:Барометрична формула]]