عرض مصدر تفاضل وتكامل

{{حسبان}}

'''التفاضل والتكامل''' {{لات|Calculus}} فرع من فروع [[رياضيات|الرياضيات]] يدرس [[النهايات]] و[[اشتقاق (توضيح)|الاشتقاق]] و[[تكامل|التكامل]] و[[متسلسلة|المتسلسلات الانهائية]]. وهو علم يستخدم لدراسة التغير في [[دالة|الدوال]] و[[تحليل رياضي|تحليلها]].

ويدخل علم التفاضل والتكامل في العديد من التطبيقات في الهندسة والعلوم المختلفة حيث كثيرا ما يحتاج لدراسة سلوك الدالة والتغير فيها وحل المشاكل التي يعجز علم [[جبر|الجبر]] عن حلها بسهولة.وعادة مايدرس علم التفاضل والتكامل بعد دراسة أساسيات [[جبر|الجبر]] و[[هندسة|الهندسة]] و[[حساب مثلثات|حساب المثلثات]]. ومن الموضوعات الرئيسية في هذا العلم هي [[النهايات]] و[[موحل في الصغر|الكميات الموحلة في الصغر]].

و ينقسم إلى هذا العلم إلى فرعين هما [[تفاضل|التفاضل]] و[[تكامل|التكامل]] ويربط بينهما ما يعرف ب[[المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل|النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل]]. وفى بعض الأحيان قد يستخدم الاسم تفاضل وتكامل في الإشارة إلى أي نظام يستخدم في الحسبان ويستخدم فية الرموز في التعامل مع المصطلحات والمتغيرات المختلفة مثل [[تفاضل وتكامل لامبدا]] و[[التفاضل والتكامل الاقتراحى]] و[[التفاضل والتكامل العلائقى]] و[[التفاضل والتكامل المؤكد]].

== النهايات ==
{{رئيسي|نهاية رياضية}}
تهتم بدراسة اتصال الدالة وقيمتها عندما يقترب تابعها من من قيمة معينة.

بفرض أن الدالة <math>f(x)\,</math> هي دالة حقيقية وأن <math>c\,</math> عدد حقيقي أيضا:

عندئذ يمكن القول:

:<math> \lim_{x \to c}f(x) = L </math>

أي أن الدالة <math>f(x)\,</math>  تكون قريبة جدا حسبما نريد من <math>L\,</math> عندما تقترب <math>x\,</math> من العدد <math>c</math>  ونعبر عن ذلك لغة (أن نهاية <math>f(x)\,</math>, عندما <math>x\,</math> تؤول  إلى <math>c\,</math>, هي <math>L\,</math>).

== التفاضل والاشتقاق ==
{{رئيسي|تفاضل}}
يتم اشتقاق التفاضل للدالة <math>f(x)\,</math> من التعريف الرئيسي للنهاية بالعلاقة:

:<math>f'(x)=\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}</math>

== التكامل ==
في علم الرياضيات ينقسم التكامل إلى جزئين: التكامل المحدود والتكامل الغير محدود. يتعلق التكامل المحدود بحساب الاطوال, المساحات, المنحنيات, مراكز الثقل وما إلى ذلك من الدوال التي لها تطبيقات في شتى العلوم. من جهة أخرى يركز التكامل الغير محدود على ايجاد المعكوس الرياضي للتفاضل ولهذا السبب يسمى أيضا بالاشتقاق العكسي.

=== الاشتقاق العكسي ===
{{رئيسي|اشتقاق عكسي}}
يعطى التكامل الغير محدود لتابع  <math>f(x)\,</math> رياضي بالعلاقة:

:<math>\int f(x) dx = F(x) + C</math>

::حيث

:<math>F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x)</math>

=== التكامل المحدود ===
{{رئيسي|تكامل محدود}}
يعبر عنه بالشكل الرياضي:

:<math>\int_a^b f(x)\,dx</math>

== تطبيقات ==
لعلم التفاضل والتكامل تطبيقات لا حصر لها في علوم ال[[فيزياء]] الكلاسيكية والحديثة, ال[[كيمياء]], [[هندسة|الهندسة]], [[اقتصاد|الاقتصاد]], [[حاسوب|الحاسوب]] وحتى في [[طب|الطب]] وبعض [[سياسة|العلوم السياسية]] [[أدب|والادبية]]. هنا بعض الامثلة:

* حساب اطوال المنحنيات, المساحات, والحجوم.
* حساب [[مركز ثقل|مركز الثقل]], [[عزم القصور الذاتي]], [[كمية التحرك]], [[العجلة]], [[سرعة|السرعة]], [[إزاحة|الإزاحة]], [[شغل|الشغل]], [[طاقة|الطاقة]].
* حساب [[توزيع|التوزيع]]ات و[[احتمالات|الاحتمالات]] المنتظمة ك[[إحتمالية فيرمي]] في [[شبه موصل|أشباه الموصلات]], انتشار جراثيم في وسط معين تحت ظروف بيئية معينة.
* حل [[معادلة تفاضلية|المعادلات التفاضلية]] وتطبيقاتها في [[نظام خطي|الأنظمة الخطية]] مثل [[بندول|البندول]], [[رنين كهربائي|دوائر الرنين الكهربائية]], و[[أنظمة التحكم الكهروميكانيكية]].
* [[اشتقاق]] الكثير من المعادلات الفيزيائية الحديثة والتي يكون من الصعب اجرائها تجريبيا.
* حساب [[ثابت رياضي|الثوابت الرياضية]] إلى درجات عالية من الدقة مثل قيمة ثابت الدائرة <math>\pi =3.141592653....\,</math>، الثابت الطبيعي <math>e=2.7182818....\,</math> وكذلك الدوال الرياضية المعقدة وإمكانية [[برمجة]] هذه العمليات بواسطة [[حاسوب|الحاسوب]].

== تاريخ ==
يعتقد البعض ان علم التفاضل قد سبق التكامل كون التكامل عملية عكسية للتفاضل وهذا غير صحيح. فقد أظهرت الأدلة التاريخية استخدام التكامل بطرق غير مباشرة في حساب المساحات والحجوم كما كان في عهد المصريين القدماء في طريقة حساب حجم [[هرم|الهرم]] الناقص. كما تبعهم اليونانيون في استخدام [[طريقة الاستنزاف]] لحساب المساحات والحجوم ثم ازدهرت هذه الطريقة في عهد [[أرشيميدس]] الذي أدخل فكرة [[الخبرة المكتسبة]] والتي تمثل جزءَ أساسيا في علم التكامل. ثم انتقلت طريقة الاستنزاف إلى الصين حيث عملوا جاهدين على ايجاد مساحة الدائرة وحجم الكرة.

وفي العصر الإسلامي استطاع [[ابن الهيثم]] استخدام طريقة تكاملية لاستنباط الصيغة العامة لمجموع [[متوالية حسابية]] من الدرجة الرابعة. ثم ابتدع الصينيون معادلات تتعامل مع التكامل, وفي الهند بدأ الاشتقاق بالظهور على يد هندي رياضي وصف التغيرات المتناهية في الصغر كما توصل اخرون لمتسلسلات شيهة ب[[متسلسلة تايلور]].

مع ظهور عصر النهضة بدأ الغرب بتعلم وترجمة الكتب القديمة كاليونانية, الحديثة كالعربية وتطوير علوم الرياضيات, الفيزياء, الكيمياء, وبعض العلوم الأخرى وتطور علم التفاضل والتكامل بشكل خاص على يد  مؤسسه [[إسحاق نيوتن]].

{{بوابة رياضيات}}
{{تصنيف كومنز|Integral functions}}

[[تصنيف:تحليل رياضي]]
[[تصنيف:رياضيات]]

[[af:Analise]]
[[an:Calculo]]
[[be-x-old:Матэматычны аналіз]]
[[bn:ক্যালকুলাস]]
[[de:Kalkül]]
[[el:Απειροστικός λογισμός]]
[[en:Calculus]]
[[eo:Kalkulo]]
[[es:Cálculo]]
[[fa:حساب دیفرانسیل وانتگرال]]
[[fi:Differentiaalilaskenta]]
[[hi:कलन]]
[[id:Kalkulus]]
[[io:Kalkulo]]
[[is:Örsmæðareikningur]]
[[ja:微分積分学]]
[[jv:Kalkulus]]
[[ko:미적분학]]
[[la:Calculus]]
[[lt:Integralinis ir diferencialinis skaičiavimas]]
[[ml:കലനം]]
[[ms:Kalkulus]]
[[pl:Rachunek różniczkowy i całkowy]]
[[pt:Cálculo]]
[[qu:Yupaylliy]]
[[sco:Calculus]]
[[simple:Calculus]]
[[ta:நுண்கணிதம்]]
[[th:แคลคูลัส]]
[[tr:Kalkülüs]]
[[ur:حسابان]]
[[vi:Giải tích]]
[[war:Kalkulo]]
[[zh-min-nan:Bî-chek-hun]]
[[zh-yue:微積分]]