معادلة حدودية

في الرياضيات ، معادلات كثيرة الحدود

1. تحويل قالب:إنكليزية: هي معادلات تكون على الشكل التالي:

$\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0$

حيث ${\mathcal {}}a_{i}$, معاملات المعادلة, والهدف هو إيجاد جميع قيم المجهول ${\mathcal {}}x$ . ونقول أن كثير الحدود من الدرجة الأولى إذا كانت أعلى قوة ل ${\mathcal {}}x$ تظهر في المعادلة هي واحد. وهي من الدرجة الثانية إذا كانت أعلى قوة ل ${\mathcal {}}x$ هي إثنين وهكذا دواليك . إذن نقول أن كثيرة الحدود من الدرجة ${\mathcal {}}n$ إذا كانت أعلى قوة ل ${\mathcal {}}x$ هي ${\mathcal {}}n$ . وتقول المبرهنة الأساسية في الجبر أن لكل معادلة حدوددية من الدرجة ${\mathcal {}}n$ يوجد عدد ${\mathcal {}}n$ من الحلول (ذلك إذا إحتسبنا الحلول المكررة أي التي يجب أن نعدها مرتين). كما تجدر الإشارة إلى أن كل معادلة حدودية ذات معاملات تنتمي إلى الأعداد الحقيقية إن كان لها حلول تنتمي إلى الأعداد المركبة فإن هذه الحلول تكون دائما مترافقة أي أنه يكون دائما هناك حل في شكل ${\mathcal {}}a+ib$ وآخر في شكل ${\mathcal {}}a-ib$ . أما إذا كانت المعاملات عقدية فإن ذلك ليس صحيحا.

توضيح المبرهنة الأساسية في الجبر

إذا إعتبرنا المعادلة التالية:
${\mathcal {}}x^{2}+2x+1=0$
فإن الحل هو ${\mathcal {}}(-1)$ ولكن يتم اعتبار هذا الحل مكررا مرتين لأننا يمكن أن نكتب المعادلة بالشكل التالي:
${\mathcal {}}x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}=(x+1)(x+1)=0$
و لذلك نرى أنه لتكون المعادلة صحيحة يجب أن يكون القوس الأول يساوي صفرا أو الثاني يساوي صفرا وفي كل مرة يعينا ذلك حلا أي أن الحل ${\mathcal {}}(-1)$ مكرر مرتين. كذلك إذا إعتبرنا
${\mathcal {}}(x-1)^{n}=0$
فإن الحل هو ${\mathcal {}}1$ ولكنه مكرر ${\mathcal {}}n$ مرة إلخ.... بهذه الطريقة تتم حساب عدد الحلول. وعلى أساس ذلك يكون كما هو مذكور أعلاه لكل معادلة حدودية من الدرجة ${\mathcal {}}n$ عدد ${\mathcal {}}n$ من الحلول

طرق حل معادلات كثيرة الحدود

المعادلة من الدرجة الأولى

حل المعادلة: $ax+b\,=0$ هو $x={\frac {-b}{a}}$ حيث $a\neq 0\,$ ونستطيع حل معادلات الدرجة الأولى بكل سهولة فمثلا:- مثال 1:- حل المعادلة التالية س+5=10 الحل:- س+5-5=10-5 وبالإختصار نجد أن:- س=5 بحيث لو عوضنا بقيمة س نحصل على الناتج 10 5+5‏=‏10 وهناك طريقة أخرى وهي نقل الحد الثاني إلى الجهة الأخرى بعكس إشارته. س=10-5 س=5

المعادلة من الدرجة الثانية

لحل المعادلة: ${\mathcal {}}ax^{2}+bx+c\,=0$, نحسب المميز ${\mathcal {}}\Delta$ المعرف ب: $\Delta =b^{2}-4ac\,$, ويكون للمعادلة حلان هما:

• $x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$
• $x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$.

المعادلة من الدرجة الثالثة

 طالع أيضا: دالة_تكعيبية#صيغة_غاردان

طريقة كاردان

طريقة كاردان هي طريقة تمكن من حل جميع المعادلات من الدرجة الثالثة.

هذه الطريقة تكمن من استعمال صيغ كاردان المعطات بدلالة ${\mathcal {}}p$ و${\mathcal {}}q$ حلول المعادلة: ${\mathcal {}}x^{3}+px+q=0~$. وهي تمكن من البرهنة على أن المعادلات من الدرجة 3 يمكن حلها جبريا.

صيغ كاردان

بالنسبة للمعادلة: ${\mathcal {}}x^{3}+px+q=0\,$ نحسب $\Delta =4p^{3}+27q^{2}\,$, ثم ندرس إشارته.

Δ موجب

نضع

• $u={\sqrt[{3}]{\frac {-27q+3{\sqrt {3}}{\sqrt {\Delta }}}{2}}}$
• $v={\sqrt[{3}]{\frac {-27q-3{\sqrt {3}}{\sqrt {\Delta }}}{2}}}$

الحل الوحيد الحقيقي هو $x_{1}={\frac {1}{3}}(u+v)$.

و حلان عقديان مترافقان:

• $x_{2}={\frac {1}{3}}(ju+{\bar {j}}v)$
• $x_{3}={\frac {1}{3}}({\bar {j}}u+jv)$

حيث $j=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}=e^{i{\frac {2\pi }{3}}}$

Δ سالب

يوجد عدد عقدي u الذي هو جذر مكعب ل ${\frac {-27q+3i{\sqrt {3}}{\sqrt {-\Delta }}}{2}}$.

المعادلة تقبل ثلاث حلول حقيقية:

• $x_{1}={\frac {1}{3}}(u+{\bar {u}})$
• $x_{2}={\frac {1}{3}}(ju+{\bar {j}}{\bar {u}})$
• $x_{3}={\frac {1}{3}}(j^{2}u+{\bar {j^{2}}}{\bar {u}})$

تفسير الطريقة

الصيغة المختصرة

نعتبر الصيغة العامة للمعادلة: $\qquad a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$,

نضع:
$x=z-{\frac {a_{2}}{3a_{3}}}$
لنحصل على الصيغة:
$\qquad z^{3}+pz+q=0$
نضع الآن:
$\qquad z=u+v$ الآن نحصل على مجهولين بدل مجهول واحد, لكن نضع شرطا يمكن من التبسيط:
$\qquad (u+v)^{3}+p(u+v)+q=0$ تتحول هذه المعادلة إلى الشكل:
$\qquad u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0$ شرط التبسيط يكون إذن:
$\qquad 3uv+p=0$ الذي يعطي من جهة:
$\qquad u^{3}+v^{3}+q=0$ و من جهة أخرى:
$\qquad uv=-{\frac {p}{3}}$ و عند رفع العددين إلى القوة 3, نحصل على:
$\qquad u^{3}v^{3}=-{\frac {p^{3}}{27}}$ و نحصل أخيرا على نظمة معادلتين لمجهولين ${\mathcal {}}u^{3}$ و${\mathcal {}}v^{3}$ الآتية :
$\qquad u^{3}+v^{3}=-q$
$\qquad u^{3}v^{3}=-{\frac {p^{3}}{27}}$
${\mathcal {}}u^{3}$ و ${\mathcal {}}v^{3}$ هما إذن عددين نعرف جمعهما وجذاءهما. هذين العددين هما جذرا المعادلة من الدرجة الثانية:
$X^{2}+qX-{\frac {p^{3}}{27}}=0$

المعادلة من الدرجة الرابعة

طريقة فيراري

نعتبر الصيغة العامة للمعادلة من الدرجة الرابعة: $\qquad a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$

نقسم على $a_{4}\,$ ونضع

$\qquad x=z-{\frac {a_{3}}{4a_{4}}}$

لنصل إلى معادلة على صيغة :

$\qquad z^{4}+pz^{2}+qz+r=0$

معادلة تكتب:

$\qquad z^{4}+r=-pz^{2}-qz$

نضيف

$\qquad 2z^{2}{\sqrt {r}}$

لطرفي المتساوية. فنحصل على:

$\qquad z^{4}+2z^{2}{\sqrt {r}}+r=2z^{2}{\sqrt {r}}-pz^{2}-qz$

نلاحظ أن الطرف الأول يكتب على صيغة مربع:

$\qquad (z^{2}+{\sqrt {r}})^{2}=2z^{2}{\sqrt {r}}-pz^{2}-qz$

من هاته النتيجة الأخيرة, نقوم بالنشر :

$\qquad (z^{2}+{\sqrt {r}}+y)^{2}=(z^{2}+{\sqrt {r}})^{2}+2y(z^{2}+{\sqrt {r}})+y^{2}$

$\qquad (z^{2}+{\sqrt {r}}+y)^{2}=2z^{2}{\sqrt {r}}-pz^{2}-qz+2y(z^{2}+{\sqrt {r}})+y^{2}$

$\qquad (z^{2}+{\sqrt {r}}+y)^{2}=(2{\sqrt {r}}-p+2y)z^{2}-qz+2y{\sqrt {r}}+y^{2}$ (*)

الهدف هو تحديد y بحيث يكتب الطرف الثاني أيضا على صيغة مربع.

الطرف الثاني معادلة من الدرجة الثانية ${\mathcal {}}z$ . يكتب على شكل مربع. إذا كان المميز منعدما يعني:

$\qquad q^{2}-4(2{\sqrt {r}}-p+2y)(2y{\sqrt {r}}+y^{2})=0$

الشيء الذي يعطي, عن طريق النشر والتجميع معادلة من الدرجة الثالثة ${\mathcal {}}y$ الآتية :

$\qquad 8y^{3}+4(6{\sqrt {r}}-p)y^{2}+8(2r-p{\sqrt {r}})y-q^{2}=0$

نستطيع حل هذه المعادلة باستعمال الطريقة الخاصة بمعادلات الدرجة الثالثة لإيجاد ${\mathcal {}}y_{0}$.

المعادلة من الدرجة الخامسة فما فوق

انظر مبرهنة آبل

طرق رقمية لحل معادلات كثيرة الحدود

• طريقة نيوتن في حل المعادلات

أنظر أيضاً

• كثيرة الحدود (polynomial)
• معادلة جبرية (algebraic equation)