تلوين مخطط بثلاثة ألوان

قالب:مسألة NP كاملة تلوين المخطط باستعمال ثلاثة ألوان هي مسألة مشتقة من المسألة العامة تلوين مخطط وتتم باستعمال ثلاثة ألوان فقط، ورغم ذلك فهي مسألة NP كاملة.

تلوين مخطط بثلاثة ألوان مسألة كاملة

انطلاقا من SAT نحصل على مخطط عادي غير موجه، حيث يكون للصيغة حل إذا وفقط إذا كان هناك تلوين بثلاثة ألوان فقط. بعبارة أوضح حل SAT يحل مشكلة التلوين وحل مشكلة التلوين تحل SAT.

الاختصار

gadjet 3COL

يتم من SAT لكل صيغة نربطها بمخطط عادي غير موجه، طريقة إنشائه كما يلي:

1. لكل متغيرين متقابلين $x\,$ و$\lnot x$ نرسم قمتين مرتبطتين، $U_{x}\,$ خاصة ب $x\,$ و$U_{\lnot x}$ خاصة ب $\lnot x$.
2. لكل رمز $\lor$ (أول رمز)، نرسم مثلث قممه $A_{1}$ و$B_{1}$ و$C_{1}$. وتسمى A رأس المثلث.
   1. في حالة وجود $x\,$ نربط القمة $U_{x}\,$ بB. أما في حالة وجود $\lnot x$ نربط القمة $U_{\lnot x}$ بB.
   2. بالنسبة للمتغير الثاني في الصيغة clause يتم ربط القمة التي تمثله بِC بنفس طريقة الربط مع B.
3. لكل رمز $\lor$ موالي(انطلاقا من ثاني رمز)، نرسم مثلث قممه $A_{2}$ و$B_{2}$ و$C_{2}$. نربط $A_{1}$ ب $B_{2}$. و$C_{2}$ بتمثيل المتغير الثالث.
4. المثلث الأخير والذي يرمز لآخر رمز في الصيغة clause نسمي رأسه $A$ برأس العبارة.
5. في الأخير نضيف قمتين مرتبطتين الأولى محايدة $N$ والثانية منعدمة $Z$:
   1. القمة $N$ مرتبطة برؤوس المثلثات وبالقمم التي تمثل المتغيرات.
   2. القمة $Z$ مرتبطة برؤوس العبارات.

الآن نستعمل للتلوين الأعداد 0 و 1 و 2، القمة N تلون ب2 والقمة z تلون ب3، هذا سيؤدي لتلوين جميع رؤوس العبارات باللون 1. وبعد انتهاء عملية التلوين، بالنسبة للصيغة نعطي للمتغير $x\,$ القيمة 1 في حالة كانت القمة $U_{x}\,$ ملونة باللون 1، بينما يأخد القيمة 0 في حالة كانت القمة $U_{x}\,$ ملونة باللون 0.